Encontre a solução para o seguinte PVI:
\left\{\begin{array}{l} 6 y^{\prime \prime}+\frac{1}{6} y=\delta(t-12 \pi)+\delta(t-18 \pi) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} 6\,y''(t)+\dfrac{1}{6}\,y(t)=\delta(t-12\pi)+\delta(t-18\pi),\\[6pt] y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{array}\right.
As perguntas claras: encontrar y(t) para todo t\ge0. Informações relevantes fornecidas:
  • Há dois impulsos unitários (funções delta de Dirac) localizados em t=12\pi e t=18\pi.
  • Condições iniciais nulas em t=0: y(0)=0 e y'(0)=0.
  • A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.]

Passo 2

Propriedade útil da \delta: integrar a equação numa vizinhança pequena de um instante t_0 onde está a \delta mostra como o impulso afeta as derivadas. Integro de t_0-\varepsilon a t_0+\varepsilon e faço \varepsilon\to0^+:
\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}6\,y''(t)\,dt+\frac{1}{6}\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}y(t)\,dt=\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}\delta(t-t_0)\,dt.
O segundo termo tende a zero quando \varepsilon\to0 porque y é contínua, e o primeiro termo dá a diferença das derivadas:
6\bigl(y'(t_0+)-y'(t_0-)\bigr)=1.
Portanto cada impulso unitário em t_0 provoca um salto na derivada dado por
\Delta y' := y'(t_0+)-y'(t_0-)=\frac{1}{6}.
Observação: y(t) permanece contínua nos instantes dos impulsos.

Passo 3

Antes de usar os saltos, resolvo a equação homogênea associada para entender a solução entre impulsos. Reescrevo a equação homogênea:
6\,y''+\frac{1}{6}y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y''+\frac{1}{36}y=0.
Defino \omega por \omega^2=\dfrac{1}{36}, logo \omega=\dfrac{1}{6}. A solução geral da homogênea é
y_h(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais em cada intervalo (entre impulsos). Explicando: \omega é a frequência natural; A fixa o termo em cosseno (valor inicial) e B está relacionado à derivada inicial via y'(0)=\omega B.

Passo 4

Intervalo 0\le t<12\pi (antes do primeiro impulso). As condições iniciais em t=0 são y(0)=0 e y'(0)=0. Pela forma y_h,
y(0)=A\cos0+B\sin0=A=0, \qquad y'(0)=-A\omega\sin0+B\omega\cos0=\omega B=0\Rightarrow B=0.
Assim para 0\le t<12\pi,
y(t)=0.

Passo 5

No instante t=12\pi ocorre o primeiro impulso. Pelo passo 2, a derivada tem salto \Delta y'=\tfrac{1}{6}. Como y(12\pi-)=0 e y'(12\pi-)=0 (vindo do intervalo anterior), obtemos as condições logo após o impulso ( 12\pi+):
y(12\pi+)=0,\qquad y'(12\pi+)=\frac{1}{6}.
Agora, para 12\pi<t<18\pi a equação é homogênea e é conveniente medir o tempo a partir de 12\pi. Defino \tau=t-12\pi\ge0. A solução no intervalo é
y(t)=A\cos(\omega\tau)+B\sin(\omega\tau),
com \tau=0 correspondendo a t=12\pi. Das condições em \tau=0:
y(12\pi)=A=0,\qquad y'(12\pi)=\omega B=\frac{1}{6}.
Como \omega=\tfrac{1}{6}, temos
B=\frac{1/6}{\omega}=\frac{1/6}{1/6}=1.
Portanto, para 12\pi<t<18\pi (isto é, 0<\tau<6\pi),
y(t)=\sin\bigl(\omega(t-12\pi)\bigr)=\sin\!\Bigl(\frac{1}{6}(t-12\pi)\Bigr).

Passo 6

Aproximo-me do segundo impulso em t=18\pi. Primeiro avalio y e y' imediatamente antes do segundo impulso ( 18\pi-):
y(18\pi-)=\sin\!\Bigl(\omega(18\pi-12\pi)\Bigr)=\sin(\omega\cdot6\pi)=\sin(\pi)=0,
e para a derivada
y'(t)=\omega\cos\!\bigl(\omega(t-12\pi)\bigr)\quad\Rightarrow\quad y'(18\pi-)=\omega\cos(\omega\cdot6\pi)=\omega\cos\pi=\omega(-1)=-\omega=-\frac{1}{6}.
No instante t=18\pi há o segundo impulso que adiciona novamente \Delta y'=\tfrac{1}{6}. Assim
y'(18\pi+)=y'(18\pi-)+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0,
e y(18\pi+)=y(18\pi)=0. Logo as condições imediatas após 18\pi são y=0,\;y'=0. Resolvido o problema inicial para o intervalo seguinte, a solução da homogênea com essas condições é identicamente zero. Portanto para t>18\pi tem-se y(t)=0.
Também é interessante a forma por superposição: a resposta ao impulso em t_0 é \sin(\omega(t-t_0))H(t-t_0) (onde H é a função de Heaviside). Somando as duas respostas obtemos a mesma solução (as duas oscilações se cancelam para t>18\pi por uma defasagem de \pi).

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<12\pi,\\[6pt] \sin\!\Bigl(\dfrac{1}{6}(t-12\pi)\Bigr), & 12\pi\le t<18\pi,\\[6pt] 0, & t\ge18\pi, \end{cases}
ou equivalentemente
y(t)=H(t-12\pi)\sin\!\Bigl(\dfrac{1}{6}(t-12\pi)\Bigr)+H(t-18\pi)\sin\!\Bigl(\dfrac{1}{6}(t-18\pi)\Bigr).]

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