As perguntas claras: encontrar y(t) para todo t\ge0. Informações relevantes fornecidas:
Há dois impulsos unitários (funções delta de Dirac) localizados em t=12\pi e t=18\pi.
Condições iniciais nulas em t=0: y(0)=0 e y'(0)=0.
A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.]
Passo 2
Propriedade útil da \delta: integrar a equação numa vizinhança pequena de um instante t_0 onde está a \delta mostra como o impulso afeta as derivadas. Integro de t_0-\varepsilon a t_0+\varepsilon e faço \varepsilon\to0^+:
Defino \omega por \omega^2=\dfrac{1}{36}, logo \omega=\dfrac{1}{6}. A solução geral da homogênea é
y_h(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais em cada intervalo (entre impulsos). Explicando: \omega é a frequência natural; A fixa o termo em cosseno (valor inicial) e B está relacionado à derivada inicial via y'(0)=\omega B.
Passo 4
Intervalo 0\le t<12\pi (antes do primeiro impulso). As condições iniciais em t=0 são y(0)=0 e y'(0)=0. Pela forma y_h,
No instante t=12\pi ocorre o primeiro impulso. Pelo passo 2, a derivada tem salto \Delta y'=\tfrac{1}{6}. Como y(12\pi-)=0 e y'(12\pi-)=0 (vindo do intervalo anterior), obtemos as condições logo após o impulso (12\pi+):
y(12\pi+)=0,\qquad y'(12\pi+)=\frac{1}{6}.
Agora, para 12\pi<t<18\pi a equação é homogênea e é conveniente medir o tempo a partir de 12\pi. Defino \tau=t-12\pi\ge0. A solução no intervalo é
y(t)=A\cos(\omega\tau)+B\sin(\omega\tau),
com \tau=0 correspondendo a t=12\pi. Das condições em \tau=0:
e y(18\pi+)=y(18\pi)=0. Logo as condições imediatas após 18\pi são y=0,\;y'=0. Resolvido o problema inicial para o intervalo seguinte, a solução da homogênea com essas condições é identicamente zero. Portanto para t>18\pi tem-se y(t)=0.
Também é interessante a forma por superposição: a resposta ao impulso em t_0 é \sin(\omega(t-t_0))H(t-t_0) (onde H é a função de Heaviside). Somando as duas respostas obtemos a mesma solução (as duas oscilações se cancelam para t>18\pi por uma defasagem de \pi).