Questão 1: Qual das néries abaixo é divergente.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{2}}
c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+3^{n}}
d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} ; e) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{3}};

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual soma infinita é divergente entre as séries abaixo:
a) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
b) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{2}}
c) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+3^{n}}
d) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
e) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{3}}
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, usando comparação, séries p e teste da forma geral do termo.

Passo 2

Para a série a) aplicamos o teste da série p:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
como aqui p=2>1, a série p converge. Logo a opção (a) é convergente.

Passo 3

Para a série b) reescrevemos o termo geral:
\frac{n^{2}+1}{n^{2}} =1+\frac{1}{n^{2}}.
Assim o somatório é
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}1 \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n^{2}}.
O primeiro somatório, \sum1, é divergente (os termos não tendem a zero e somam infinidades de 1). Portanto essa série diverge.

Passo 4

Para a série c) comparamos com uma geométrica:
0<\frac{1}{1+3^{n}}<\frac{1}{3^{n}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1/3^{n} é geométrica de razão 1/3<1, ela converge. Por comparação, \sum1/(1+3^{n}) também converge.

Passo 5

Para a série d) examinamos o comportamento assintótico:
\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}\sim\frac{n^{1/2}}{n^{2}}=n^{-3/2}.
Como 3/2>1, a série p \sum n^{-3/2} converge, e por comparação \sum\sqrt{n}/(n^{2}+1) converge.

Passo 6

Para a série e) escrevemos o termo geral:
\frac{n+1}{n^{3}} =\frac{n}{n^{3}}+\frac{1}{n^{3}} =\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}.
Ambas as séries \sum1/n^{2} e \sum1/n^{3} são séries p com p>1, logo convergem. Portanto a soma também converge.

Resposta

A única série divergente é a opção (b).

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