Questão 2: Marque a opção que representa o intervalo de convergència da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}(10-x)^{n}}{n!} :
a) (-10,10)
b) (-1,1)
c) (0,10)
d) (-10,0)
; e) \mathbb{I R}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}(10-x)^{n}}{n!}
e pede o intervalo de convergência.
O conteúdo principal é o estudo de séries de potências usando o Teste da Razão para determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_{n} = \frac{10^{n}(10-x)^{n}}{n!}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
Temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{10^{n+1}\,\bigl|10-x\bigr|^{n+1}/(n+1)!}{10^{n}\,\bigl|10-x\bigr|^{n}/n!} = \frac{10\,\bigl|10-x\bigr|}{n+1}.
Tomando o limite,
L = \lim_{n\to\infty} \frac{10\,\bigl|10-x\bigr|}{n+1} = 0.

Passo 3

Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, o Teste da Razão garante que a série converge para todos os valores de x.

Resposta

e) \mathbb{R}

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