Dica: simetria é a chave.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão envolve raízes quadradas
e . - O ponto de interesse é
(limite quando tende a ). - A dica diz: “simetria é a chave” — isso sugere que a expressão tem alguma propriedade par/ímpar que pode simplificar a análise.
- A expressão está bem definida para
próximos de (por exemplo para ), então podemos trabalhar com limites laterais sem problema.
Passo 2
Explorando a simetria (dica): defina
Vamos verificar o comportamento de
ao trocar
por
:
Ou seja,
é uma função ímpar:
.
Agora olhe para a função cuja limite queremos:
Como
é ímpar e
é ímpar (isto é,
muda o sinal), então
. Ou seja,
é uma função par. Consequência prática: os limites laterais em
(pela direita e pela esquerda) são iguais — isso garante que se existir um dos lados, existe o limite bilateral e ambos coincidem. Mas ainda falta calcular o valor numérico do limite.
Passo 3
Fazer uma manipulação algébrica clássica: multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador para eliminar as raízes. Multiplicamos por
, obtendo
No numerador aparece a diferença de quadrados:
Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Cancelei o fator
(válido para
, e para limite isso é permitido) e obtenho uma expressão mais simples:
Agora avaliamos o limite de
. As funções
e
são contínuas perto de
, então podemos simplesmente substituir
na expressão resultante:
Passo 5
Resumo didático rápido do método (como usar na prova):
- Reconheça a simetria: o numerador é ímpar, o denominador é ímpar, então a razão é par (garante limites laterais iguais).
- Use conjugado para eliminar raízes: multiplicar por
transforma diferença de raízes em diferença de quadrados, que vira termo simples em . - Cancele
e use continuidade para substituir .