\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\right]
Dica: simetria é a chave.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão envolve raízes quadradas \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x}.
  • O ponto de interesse é x=0 (limite quando x tende a 0).
  • A dica diz: “simetria é a chave” — isso sugere que a expressão tem alguma propriedade par/ímpar que pode simplificar a análise.
  • A expressão está bem definida para x próximos de 0 (por exemplo para |x|<1), então podemos trabalhar com limites laterais sem problema.

Passo 2

Explorando a simetria (dica): defina
f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}.
Vamos verificar o comportamento de f ao trocar x por -x:
f(-x)=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}=-\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x)\\ }=-f(x).
Ou seja, f é uma função ímpar: f(-x)=-f(x).
Agora olhe para a função cuja limite queremos:
g(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.
Como f é ímpar e x é ímpar (isto é, x\mapsto -x muda o sinal), então g(-x)=\dfrac{f(-x)}{-x}=\dfrac{-f(x)}{-x}=g(x). Ou seja, g é uma função par. Consequência prática: os limites laterais em 0 (pela direita e pela esquerda) são iguais — isso garante que se existir um dos lados, existe o limite bilateral e ambos coincidem. Mas ainda falta calcular o valor numérico do limite.

Passo 3

Fazer uma manipulação algébrica clássica: multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador para eliminar as raízes. Multiplicamos por
\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}, obtendo
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} = \frac{\big(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\big)\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\big)}{x\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\big)}.
No numerador aparece a diferença de quadrados:
\big(\sqrt{1+x}\big)^2-\big(\sqrt{1-x}\big)^2=(1+x)-(1-x)=2x.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{2x}{x\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\big)}.

Passo 4

Cancelei o fator x (válido para x\neq0, e para limite isso é permitido) e obtenho uma expressão mais simples:
\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.
Agora avaliamos o limite de x\to0. As funções \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x} são contínuas perto de 0, então podemos simplesmente substituir x=0 na expressão resultante:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 5

Resumo didático rápido do método (como usar na prova):
  • Reconheça a simetria: o numerador é ímpar, o denominador é ímpar, então a razão é par (garante limites laterais iguais).
  • Use conjugado para eliminar raízes: multiplicar por \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} transforma diferença de raízes em diferença de quadrados, que vira termo simples em x.
  • Cancele x e use continuidade para substituir x=0.

Resposta

1

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