2 Um sistema não amortecido está sujeito à força:

F(t)=F_{0} \sin (\omega t)
\operatorname{com} F_{0}=15 \mathrm{~N}, m=2 \mathrm{~kg} e k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine:
a. A expressão da solução completa.
b. O comportamento quando \omega \rightarrow \omega_{n}.
c. O gráfico qualitativo da amplitude em função da frequência.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • F_0=15\\ \mathrm{N}
    • m=2\\ \mathrm{kg}
    • k=50\\ \mathrm{N/m}
  • A força aplicada é F(t)=F_0\sin(\omega t).
  • Perguntas:
    a. Determinar a expressão da solução completa x(t) do sistema não amortecido sujeito a essa força (ou seja, resolver a EDO).
    b. Descrever o comportamento quando \omega \rightarrow \omega_n (quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural).
    c. Fazer um gráfico qualitativo da amplitude em função da frequência (isto é, como a amplitude do regime forçado depende de \omega).
  • Informação que será útil (retirada dos dados): a frequência natural do sistema é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Vou calcular isso nas próximas etapas.

Passo 2

Calcular a frequência natural \omega_n com os dados fornecidos e escrever a equação do movimento.
  • Cálculo de \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\\ \text{rad/s}.
  • A equação do movimento do sistema não amortecido (segunda ordem) é
m\ddot{x}+k x = F_0\sin(\omega t).
Dividindo por m para ficar em forma padrão:
\ddot{x}+\omega_n^2 x = \frac{F_0}{m}\sin(\omega t).
Aqui: \ddot{x} é a aceleração, \omega_n^2=k/m e o termo à direita é a força por unidade de massa.

Passo 3

Resolver a EDO homogênea associada (essa parte forma a solução complementar). Isso é importante porque a solução geral é soma da solução homogênea com uma particular.
  • Equação homogênea:
\ddot{x}+\omega_n^2 x=0.
  • Solução geral da homogênea (como é uma osciladora simples harmônica):
x_h(t)=C_1\cos(\omega_n t)+C_2\sin(\omega_n t),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas no enunciado, então ficam livres).
Explicando: a equação homogênea é a de um harmônico simples; suas soluções são combinações de seno e cosseno com frequência \omega_n.

Passo 4

Procurar uma solução particular x_p(t) do tipo forçado. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma resposta harmônica com a mesma frequência da força aplicada.
  • Como a força é \dfrac{F_0}{m}\sin(\omega t), para o caso genérico \omega\neq\omega_n tentamos
x_p(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t).
Substituir na equação
\ddot{x}_p+\omega_n^2 x_p = \frac{F_0}{m}\sin(\omega t).

Passo 5

Fazer as derivadas e igualar coeficientes para determinar A e B.
  • Derivadas:
\ddot{x}_p = -A\omega^2\sin(\omega t)-B\omega^2\cos(\omega t).
  • Substituição:
(-A\omega^2\sin\omega t - B\omega^2\cos\omega t) + \omega_n^2(A\sin\omega t + B\cos\omega t) = \frac{F_0}{m}\sin\omega t.
  • Agrupando termos:
A(\omega_n^2-\omega^2)\sin\omega t + B(\omega_n^2-\omega^2)\cos\omega t = \frac{F_0}{m}\sin\omega t.
Igualando coeficientes de \sin e \cos:
B(\omega_n^2-\omega^2)=0,\qquad A(\omega_n^2-\omega^2)=\frac{F_0}{m}.
  • Para \omega\neq\omega_n temos \omega_n^2-\omega^2\neq0, logo B=0 e
A=\frac{F_0/m}{\omega_n^2-\omega^2}.

Passo 6

Escrever a solução particular e a solução geral para o caso não ressonante ( \omega\neq\omega_n), substituindo os números quando for conveniente.
  • Solução particular:
x_p(t)=\frac{F_0/m}{\omega_n^2-\omega^2}\sin(\omega t).
Com os valores dados \dfrac{F_0}{m}=\dfrac{15}{2} e \omega_n^2=25, podemos também escrever
x_p(t)=\frac{15/2}{25-\omega^2}\sin(\omega t).
  • Solução completa (não ressonante):
x(t)=C_1\cos(\omega_n t)+C_2\sin(\omega_n t)+\frac{15/2}{25-\omega^2}\sin(\omega t).
Explicando a física: a solução tem duas partes — os termos com C_1,C_2 são a resposta natural (transiente), e o termo com \sin(\omega t) é o regime forçado permanente (estado estacionário). Com amortecimento real, os transientes morrem; aqui, sem amortecimento, os transientes persistem.

Passo 7

Tratar o caso ressonante \omega=\omega_n. Aqui a forma tentativa anterior falha porque dividimos por \omega_n^2-\omega^2. Quando a frequência da força coincide com a natural, a força tem exatamente a mesma forma da solução homogênea — isso exige uma forma particular multiplicada por t.
  • Para \omega=\omega_n usamos tentativa:
x_p(t)=t\big(A\cos(\omega_n t)+B\sin(\omega_n t)\big).
  • Calcular \ddot{x}_p+\omega_n^2 x_p. Usando o procedimento padrão (derivar e simplificar) obtém-se a identidade útil:
\ddot{x}_p+\omega_n^2 x_p = 2\frac{d}{dt}\big(A\cos\omega_n t + B\sin\omega_n t\big).
  • Derivando o parêntese:
\frac{d}{dt}\big(A\cos\omega_n t + B\sin\omega_n t\big) = -A\omega_n\sin\omega_n t + B\omega_n\cos\omega_n t.
  • Então
\ddot{x}_p+\omega_n^2 x_p = 2\omega_n\big(B\cos\omega_n t - A\sin\omega_n t\big).
Isto deve ser igual a \dfrac{F_0}{m}\sin(\omega_n t). Igualando coeficientes:
2\omega_n B=0,\qquad -2\omega_n A=\frac{F_0}{m}.
Logo B=0 e
A=-\frac{F_0}{2m\omega_n}.

Passo 8

Escrever a solução particular em ressonância e a solução completa no caso \omega=\omega_n, substituindo valores numéricos.
  • Solução particular em ressonância:
x_p(t)=-\frac{F_0}{2m\omega_n}\,t\cos(\omega_n t).
Com F_0=15, m=2, \omega_n=5 temos
\frac{F_0}{2m\omega_n}=\frac{15}{2\cdot 2\cdot 5}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}.
Logo
x_p(t)=-\frac{3}{4}\,t\cos(5t).
  • Solução completa em ressonância:
x(t)=C_1\cos(5t)+C_2\sin(5t)-\frac{3}{4}\,t\cos(5t).
Interpretação física: o termo -\dfrac{3}{4}t\cos(5t) cresce em amplitude proporcional a t (crescimento secular), ou seja, sem amortecimento a amplitude cresce sem limite conforme o tempo passa — característica clásica da ressonância em sistemas não amortecidos.

Passo 9

Discutir o comportamento de x_p quando \omega se aproxima de \omega_n e limites importantes ( \omega\to0, \omega\to\infty).
  • Amplitude complexa do regime forçado (não ressonante):
X(\omega)=\left|\frac{F_0/m}{\omega_n^2-\omega^2}\right|.
No nosso caso:
X(\omega)=\left|\frac{15/2}{25-\omega^2}\right|.
  • Limites:
    • Para \omega\to0:
    X(0)=\frac{F_0/m}{\omega_n^2}=\frac{F_0}{k}=\frac{15}{50}=0{,}3\\ \text{m}.Isso faz sentido físico: força estática F_0 causa deslocamento estático F_0/k.
    • Para \omega\to\infty:
    X(\omega)\sim\frac{F_0/m}{\omega^2}\to 0,ou seja, para frequências muito altas o corpo não acompanha e a amplitude decai como 1/\omega^2.
    • Para \omega\to\omega_n (pela expressão não ressonante) o denominador \omega_n^2-\omega^2\to0 fazendo X(\omega)\to\infty. Porém essa expressão perde validade exatamente em \omega=\omega_n, onde a solução real mostra crescimento linear no tempo (resposta não acotada no tempo). Em termos práticos: amplitude do regime estacionário tende a infinito (singularidade) — no mundo real o amortecimento limita isso.

Passo 10

Desenho qualitativo do gráfico amplitude vs frequência e comentários finais.
  • Como esboçar o gráfico de X(\omega) (amplitude do regime forçado) em função de \omega:
    • No eixo horizontal colocar \omega e marcar \omega_n=5.
    • No eixo vertical a amplitude X(\omega).
    • Para \omega=0 a amplitude vale 0{,}3.
    • Conforme \omega aumenta até próximo de 5, X(\omega) cresce; em \omega\to5 há uma singularidade (vertical assíntota) no caso ideal sem amortecimento.
    • Para \omega>5 a amplitude decai rapidamente como 1/\omega^2.
    • O gráfico é simétrico em termos de pólos? Não exatamente; ele tem um pico infinitamente alto em \omega=5. Além disso, a fase da resposta troca de sinal ao atravessar \omega_n (para \omega<\omega_n a resposta está em fase com a força; para \omega>\omega_n está em oposição de fase), mas como pediram apenas a amplitude, o destaque é a singularidade em \omega_n e a queda para zero quando \omega\to\infty.
Observação de estudo: na prática sempre há algum amortecimento e o pico fica finito; o caso ideal aqui é didático e mostra por que o amortecimento é importante.

Resposta

a. x(t)=C_1\cos(5t)+C_2\sin(5t)+\dfrac{15/2}{25-\omega^2}\sin(\omega t)\quad(\omega\neq5)
b. Para \omega\to\omega_n=5 ocorre ressonância: a expressão não-resonante diverge (denominador vai a zero) e, exatamente em \omega=5, a solução é
x(t)=C_1\cos(5t)+C_2\sin(5t)-\frac{3}{4}\,t\cos(5t),
ou seja, a amplitude cresce linearmente com t (resposta não acotada).
c. Gráfico qualitativo: a amplitude do regime forçado é
X(\omega)=\left|\frac{15/2}{25-\omega^2}\right|,
portanto X(0)=0{,}3, X(\omega)\to0 quando \omega\to\infty, e há uma singularidade em \omega=5 (pico infinito no caso sem amortecimento), com decaimento aproximadamente proporcional a 1/\omega^2 para \omega\gg5.

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