\operatorname{com} F_{0}=15 \mathrm{~N}, m=2 \mathrm{~kg} e k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine:
a. A expressão da solução completa.
b. O comportamento quando \omega \rightarrow \omega_{n}.
c. O gráfico qualitativo da amplitude em função da frequência.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos.
Dados numéricos fornecidos:
F_0=15\\ \mathrm{N}
m=2\\ \mathrm{kg}
k=50\\ \mathrm{N/m}
A força aplicada é F(t)=F_0\sin(\omega t).
Perguntas:
a. Determinar a expressão da solução completa x(t) do sistema não amortecido sujeito a essa força (ou seja, resolver a EDO).
b. Descrever o comportamento quando \omega \rightarrow \omega_n (quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural).
c. Fazer um gráfico qualitativo da amplitude em função da frequência (isto é, como a amplitude do regime forçado depende de \omega).
Informação que será útil (retirada dos dados): a frequência natural do sistema é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Vou calcular isso nas próximas etapas.
Passo 2
Calcular a frequência natural \omega_n com os dados fornecidos e escrever a equação do movimento.
A equação do movimento do sistema não amortecido (segunda ordem) é
m\ddot{x}+k x = F_0\sin(\omega t).
Dividindo por m para ficar em forma padrão:
\ddot{x}+\omega_n^2 x = \frac{F_0}{m}\sin(\omega t).
Aqui: \ddot{x} é a aceleração, \omega_n^2=k/m e o termo à direita é a força por unidade de massa.
Passo 3
Resolver a EDO homogênea associada (essa parte forma a solução complementar). Isso é importante porque a solução geral é soma da solução homogênea com uma particular.
Equação homogênea:
\ddot{x}+\omega_n^2 x=0.
Solução geral da homogênea (como é uma osciladora simples harmônica):
x_h(t)=C_1\cos(\omega_n t)+C_2\sin(\omega_n t),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (não fornecidas no enunciado, então ficam livres).
Explicando: a equação homogênea é a de um harmônico simples; suas soluções são combinações de seno e cosseno com frequência \omega_n.
Passo 4
Procurar uma solução particular x_p(t) do tipo forçado. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma resposta harmônica com a mesma frequência da força aplicada.
Como a força é \dfrac{F_0}{m}\sin(\omega t), para o caso genérico \omega\neq\omega_n tentamos
Explicando a física: a solução tem duas partes — os termos com C_1,C_2 são a resposta natural (transiente), e o termo com \sin(\omega t) é o regime forçado permanente (estado estacionário). Com amortecimento real, os transientes morrem; aqui, sem amortecimento, os transientes persistem.
Passo 7
Tratar o caso ressonante \omega=\omega_n. Aqui a forma tentativa anterior falha porque dividimos por \omega_n^2-\omega^2. Quando a frequência da força coincide com a natural, a força tem exatamente a mesma forma da solução homogênea — isso exige uma forma particular multiplicada por t.
Interpretação física: o termo -\dfrac{3}{4}t\cos(5t) cresce em amplitude proporcional a t (crescimento secular), ou seja, sem amortecimento a amplitude cresce sem limite conforme o tempo passa — característica clásica da ressonância em sistemas não amortecidos.
Passo 9
Discutir o comportamento de x_p quando \omega se aproxima de \omega_n e limites importantes (\omega\to0, \omega\to\infty).
Amplitude complexa do regime forçado (não ressonante):
X(0)=\frac{F_0/m}{\omega_n^2}=\frac{F_0}{k}=\frac{15}{50}=0{,}3\\ \text{m}.Isso faz sentido físico: força estática F_0 causa deslocamento estático F_0/k.
Para \omega\to\infty:
X(\omega)\sim\frac{F_0/m}{\omega^2}\to 0,ou seja, para frequências muito altas o corpo não acompanha e a amplitude decai como 1/\omega^2.
Para \omega\to\omega_n (pela expressão não ressonante) o denominador \omega_n^2-\omega^2\to0 fazendo X(\omega)\to\infty. Porém essa expressão perde validade exatamente em \omega=\omega_n, onde a solução real mostra crescimento linear no tempo (resposta não acotada no tempo). Em termos práticos: amplitude do regime estacionário tende a infinito (singularidade) — no mundo real o amortecimento limita isso.
Passo 10
Desenho qualitativo do gráfico amplitude vs frequência e comentários finais.
Como esboçar o gráfico de X(\omega) (amplitude do regime forçado) em função de \omega:
No eixo horizontal colocar \omega e marcar \omega_n=5.
No eixo vertical a amplitude X(\omega).
Para \omega=0 a amplitude vale 0{,}3.
Conforme \omega aumenta até próximo de 5, X(\omega) cresce; em \omega\to5 há uma singularidade (vertical assíntota) no caso ideal sem amortecimento.
Para \omega>5 a amplitude decai rapidamente como 1/\omega^2.
O gráfico é simétrico em termos de pólos? Não exatamente; ele tem um pico infinitamente alto em \omega=5. Além disso, a fase da resposta troca de sinal ao atravessar \omega_n (para \omega<\omega_n a resposta está em fase com a força; para \omega>\omega_n está em oposição de fase), mas como pediram apenas a amplitude, o destaque é a singularidade em \omega_n e a queda para zero quando \omega\to\infty.
Observação de estudo: na prática sempre há algum amortecimento e o pico fica finito; o caso ideal aqui é didático e mostra por que o amortecimento é importante.
Resposta
a. x(t)=C_1\cos(5t)+C_2\sin(5t)+\dfrac{15/2}{25-\omega^2}\sin(\omega t)\quad(\omega\neq5)
b. Para \omega\to\omega_n=5 ocorre ressonância: a expressão não-resonante diverge (denominador vai a zero) e, exatamente em \omega=5, a solução é
ou seja, a amplitude cresce linearmente com t (resposta não acotada).
c. Gráfico qualitativo: a amplitude do regime forçado é
X(\omega)=\left|\frac{15/2}{25-\omega^2}\right|,
portanto X(0)=0{,}3, X(\omega)\to0 quando \omega\to\infty, e há uma singularidade em \omega=5 (pico infinito no caso sem amortecimento), com decaimento aproximadamente proporcional a 1/\omega^2 para \omega\gg5.