(6ª Questão) Determine (todas) as assíntotas - horizontais, verticais e oblíquas -, caso existam, da função abaixo.
f(x)=x+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+\frac{1}{x}
e pede para determinar todas as assíntotas — horizontais, verticais e oblíquas — caso existam.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para todos os x tais que x\neq0 (pois há uma divisão por x).
  • As perguntas a responder são:
    1. Existem assíntotas verticais? Quais?
    2. Existem assíntotas horizontais? Quais?
    3. Existem assíntotas oblíquas (slant)? Quais?

Passo 2

Vamos procurar assíntotas verticais. Conceito rápido e prático: um ponto x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) for \pm\infty.
A função não está definida em x=0, logo esse é o candidato. Escrevendo a função como uma única fração fica mais claro:
f(x)=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}.
Agora calculo os limites laterais em 0.
Para x\to0^+:
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2+1}{x}.
O numerador tende a 1 enquanto o denominador tende a 0^+, então a razão tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to0^+} f(x)=+\infty.
Para x\to0^-:
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2+1}{x}.
O numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^-, então a razão tende a -\infty. Assim
\lim_{x\to0^-} f(x)=-\infty.
Como há crescimento sem limite nas duas direções (sinais opostos), concluímos que existe uma assíntota vertical em
x=0.

Passo 3

Agora as assíntotas horizontais. Conceito: uma linha horizontal y=L é assíntota em +\infty se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L (e análogo para -\infty).
Calculo os limites em infinito:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right).
Aqui \lim_{x\to+\infty} x=+\infty e \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}=0, portanto a soma tende a +\infty. Logo não há assíntota horizontal para x\to+\infty.
Para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right).
Aqui \lim_{x\to-\infty} x=-\infty e \lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}=0, então a soma tende a -\infty. Assim não há assíntota horizontal para x\to-\infty.
Conclusão: não existem assíntotas horizontais.

Passo 4

Agora as assíntotas oblíquas (reta do tipo y=mx+b). Critério prático: se existir
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}
finito, e
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-m x\bigr)
finito, então y=mx+b é assíntota oblíqua (para o correspondente sentido, +\infty ou -\infty).
Calculo para x\to+\infty:
\frac{f(x)}{x}=\frac{x+\dfrac{1}{x}}{x}=1+\frac{1}{x^2},
portanto
m_+=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1.
Agora o intercepto:
b_+=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-m_+ x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\left(x+\frac{1}{x}-1\cdot x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Logo para x\to+\infty a reta y=x (ou seja, y=1\cdot x+0) é assíntota oblíqua.
Calculo para x\to-\infty (fazemos separado por segurança):
\frac{f(x)}{x}=1+\frac{1}{x^2}\quad\Longrightarrow\quad m_-=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1.
E
b_-=\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-m_- x\bigr)=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto para x\to-\infty também a reta y=x é a assíntota oblíqua.
Interpretação simples: a diferença entre a função e a reta y=x é
f(x)-x=\frac{1}{x},
que tende a 0 quando x\to\pm\infty. Isso mostra de forma direta que y=x é realmente a assíntota oblíqua para ambos os lados.

Passo 5

Resumo final (já preparado para conferir rapidamente): existe uma assíntota vertical em x=0, não existem assíntotas horizontais, e a assíntota oblíqua é a reta y=x (válida tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty).

Resposta

Assíntota vertical: x=0
Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntota oblíqua: y=x

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