(6ª Questão) Determine (todas) as assíntotas - horizontais, verticais e oblíquas -, caso existam, da função abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar todas as assíntotas — horizontais, verticais e oblíquas — caso existam.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função está definida para todos os
tais que (pois há uma divisão por ). - As perguntas a responder são:
- Existem assíntotas verticais? Quais?
- Existem assíntotas horizontais? Quais?
- Existem assíntotas oblíquas (slant)? Quais?
Passo 2
Vamos procurar assíntotas verticais. Conceito rápido e prático: um ponto
é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais
ou
for
.
A função não está definida em
, logo esse é o candidato. Escrevendo a função como uma única fração fica mais claro:
Agora calculo os limites laterais em
.
Para
:
O numerador tende a
enquanto o denominador tende a
, então a razão tende a
. Logo
Para
:
O numerador tende a
e o denominador tende a
, então a razão tende a
. Assim
Como há crescimento sem limite nas duas direções (sinais opostos), concluímos que existe uma assíntota vertical em
Passo 3
Agora as assíntotas horizontais. Conceito: uma linha horizontal
é assíntota em
se
(e análogo para
).
Calculo os limites em infinito:
Aqui
e
, portanto a soma tende a
. Logo não há assíntota horizontal para
.
Para
:
Aqui
e
, então a soma tende a
. Assim não há assíntota horizontal para
.
Conclusão: não existem assíntotas horizontais.
Passo 4
Agora as assíntotas oblíquas (reta do tipo
). Critério prático: se existir
finito, e
finito, então
é assíntota oblíqua (para o correspondente sentido,
ou
).
Calculo para
:
portanto
Agora o intercepto:
Logo para
a reta
(ou seja,
) é assíntota oblíqua.
Calculo para
(fazemos separado por segurança):
E
Portanto para
também a reta
é a assíntota oblíqua.
Interpretação simples: a diferença entre a função e a reta
é
que tende a
quando
. Isso mostra de forma direta que
é realmente a assíntota oblíqua para ambos os lados.
Passo 5
Resumo final (já preparado para conferir rapidamente): existe uma assíntota vertical em
, não existem assíntotas horizontais, e a assíntota oblíqua é a reta
(válida tanto para
quanto para
).
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntota oblíqua:
Assíntotas horizontais: nenhuma
Assíntota oblíqua: