Verifique quais das expressões abaixo indicam um produto interno no \mathbb{R}^{2}, onde u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e \mathrm{v}=\left(\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}\right) são vetores quaisquer desse espaço vetorial:
<\mathrm{u}, \mathrm{v}>=4 \mathrm{u}{1} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{2} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{1} \mathrm{v}{2}+4 \mathrm{u}{2} \mathrm{v}{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma bilinear
\langle u,v\rangle = 4u_{1}v_{1} + u_{2}v_{1} + u_{1}v_{2} + 4u_{2}v_{2}
definida em \mathbb{R}^{2} é de fato um produto interno, ou seja, se satisfaz as três propriedades: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.

Passo 2

Para organizar, escrevemos
\langle u,v\rangle = u^{T}A\,v,
onde
u = \begin{pmatrix}u_{1}\u_{2}\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix}.
Dessa forma, a bilinearidade segue diretamente da expressão u^{T}A\,v, pois é linear em u e em v.

Passo 3

Verificamos a simetria: a forma será simétrica se \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle. Como
u^{T}A\,v = v^{T}A^{T}u,
basta ter A = A^{T}. De fato,
A^{T} = \begin{pmatrix}4 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix} = A,
logo a forma é simétrica.

Passo 4

Falta checar a positividade definida, ou seja, \langle u,u\rangle > 0 para todo u\neq 0. Calculamos
\langle u,u\rangle = u^{T}A\,u = 4u_{1}^{2} + 2\,u_{1}u_{2} + 4u_{2}^{2}.
Em termos de matriz, uma condição equivalente é que todos os menores principais de A sejam positivos:
  1. Primeiro menor principal: \det\bigl([4]\bigr)=4>0.
  2. Determinante de A:
\det(A) = 4\cdot4 - 1\cdot1 = 16 - 1 = 15 > 0.
Como ambos são positivos, A é positiva definida e, portanto, \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq 0.

Resposta

A forma
\langle u,v\rangle = 4u_{1}v_{1} + u_{2}v_{1} + u_{1}v_{2} + 4u_{2}v_{2}
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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