Verifique quais das expressões abaixo indicam um produto interno no
, onde
e
são vetores quaisquer desse espaço vetorial:
<\mathrm{u}, \mathrm{v}>=4 \mathrm{u}{1} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{2} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{1} \mathrm{v}{2}+4 \mathrm{u}{2} \mathrm{v}{2}
<\mathrm{u}, \mathrm{v}>=4 \mathrm{u}{1} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{2} \mathrm{v}{1}+\mathrm{u}{1} \mathrm{v}{2}+4 \mathrm{u}{2} \mathrm{v}{2}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a forma bilinear
definida em
é de fato um produto interno, ou seja, se satisfaz as três propriedades: linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida.
Passo 2
Para organizar, escrevemos
onde
Dessa forma, a bilinearidade segue diretamente da expressão
, pois é linear em
e em
.
Passo 3
Verificamos a simetria: a forma será simétrica se
. Como
basta ter
. De fato,
logo a forma é simétrica.
Passo 4
Falta checar a positividade definida, ou seja,
para todo
. Calculamos
Em termos de matriz, uma condição equivalente é que todos os menores principais de
sejam positivos:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante de
:
Como ambos são positivos,
é positiva definida e, portanto,
para todo
.
Resposta
A forma
é um produto interno em
.