onde \alpha e \beta são números complexos diferentes de zero, encontre seus autovalores e autovetores.
(b) Encontre as respectivas condições para que os autovalores sejam reais,
(c) para que os autovetores sejam ortogonais.
(d) Mostre que essas condições são satisfeitas simultaneamente se e somente se a matriz A for hermitiana.
(e) Assumindo que A seja uma matriz hermitiana, encontre a matriz C que diagonaliza A . Então mostre que C^{-1} A C=D, onde D é uma matriz diagonal.
onde \alpha e \beta são números complexos não nulos. As perguntas são:
(a) encontrar os autovalores e autovetores de A;
(b) encontrar as condições para que esses autovalores sejam reais;
(c) encontrar as condições para que os autovetores sejam ortogonais (no espaço complexo, isto é, com produto interno hermitiano padrão);
(d) mostrar que as condições das partes (b) e (c) são satisfeitas simultaneamente se e somente se A for hermitiana;
(e) assumindo A hermitiana, encontrar a matriz C que diagonaliza A e mostrar que C^{-1}AC=D com D diagonal.
Informações relevantes dadas:
\alpha\neq0 e \beta\neq0.
A matriz é quase em bloco: o bloco 2\times2 no canto superior-esquerdo e um 1 isolado na terceira coordenada.
Devemos usar produto interno hermitiano padrão (em (c) e (d) a palavra “hermitiana” indica isso).]
Passo 2
Definição e estratégia para (a): um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v,
o que é equivalente a
\det(A-\lambda I)=0.
Como A tem bloco 2\times2 e um 1 isolado, vamos calcular o polinômio característico usando essa estrutura. Escrevendo A em blocos:
O polinômio característico de A fatoriza como o produto do polinômio de B e (1-\lambda) (porque o terceiro autovalor é óbvio). Então primeiro calculamos o determinante
Essas duas equações são redundantes (pois \lambda foi escolhido como raiz do determinante). Tomando a primeira delas e resolvendo para y em função de x:
\alpha y = (\lambda-1)x \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{\lambda-1}{\alpha}x.
Portanto um autovetor associado a \lambda pode ser escolhido como
Colocando \lambda=1 nas equações Av=\lambda v obtemos
\begin{cases} \alpha y = 0,\\[4pt] \beta x = 0,\\[4pt] z = z \text{ (qualquer)}. \end{cases}
Como \alpha\neq0\] e \(\beta\neq0, as duas primeiras equações forçam x=0 e y=0. Assim os autovetores associados a \lambda_3=1 são exatamente os múltiplos de
Resumo (resposta da parte a): os autovalores e autovetores encontrados são:
\lambda_1=1+\sqrt{\alpha\beta} com autovetor v_1=\displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{\sqrt{\alpha\beta}}{\alpha}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
\lambda_2=1-\sqrt{\alpha\beta} com autovetor v_2=\displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{-\sqrt{\alpha\beta}}{\alpha}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
\lambda_3=1 com autovetor v_3=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Observação: qualquer múltiplo não-nulo desses vetores também é autovetor.)]
Passo 6
Parte (b): condição para autovalores sejam reais.
Os autovalores são 1\pm s e 1, com s=\sqrt{\alpha\beta}. Para que 1\pm s sejam números reais é necessário e suficiente que s seja real. Como s^2=\alpha\beta, isso equivale a pedir que \alpha\beta seja um número real não-negativo. Como \alpha e \beta são dados não nulos, a condição fica
\alpha\beta\in\mathbb{R}_{>0}.
Assim, todos os autovalores de A são reais se e somente se \alpha\beta for real e positivo (então s=\sqrt{\alpha\beta}>0 é real). Se \alpha\beta for real e negativo, s é imaginário e obtemos um par complexo conjugado 1\pm s.
Passo 7
Parte (c): condição para os autovetores serem ortogonais (produto interno hermitiano).
No espaço complexo usamos o produto interno hermitiano padrão
Já notamos que v_3=(0,0,1)^T é ortogonal a v_1 e v_2 (porque as duas primeiras componentes de v_3 são zero). Resta verificar a ortogonalidade entre v_1 e v_2. Usando as representações:
Portanto \langle v_1,v_2\rangle=0 se e somente se |\alpha|=|\beta|. Conclusão: todos os autovetores (entre si) podem ser tomados ortogonais se e somente se
|\alpha|=|\beta|.]
Passo 8
Parte (d): relação com hermiticidade.
Definição: A é hermitiana se A=A^*, ou seja A é igual à sua conjugada transposta. Para nossa A,
e também |\beta|=|\overline{\alpha}|=|\alpha|. Logo a hermiticidade implica as condições de (b) e (c).
Agora a recíproca: suponha que as condições de (b) e (c) sejam verdadeiras simultaneamente, isto é \alpha\beta\in\mathbb{R}_{>0} e |\alpha|=|\beta|. Escrevendo \alpha= r e^{i\varphi} e \beta= r e^{i\theta} com r>0 (já que os módulos são iguais), a condição \alpha\beta\in\mathbb{R}_{>0} dá
isto é \varphi+\theta\equiv 0\pmod{2\pi}, logo \theta=-\varphi. Então
\beta = r e^{-i\varphi}=\overline{r e^{i\varphi}}=\overline{\alpha}.
Portanto \beta=\overline{\alpha} e A é hermitiana. Assim mostramos a equivalência: as condições de (b) e (c) são satisfeitas simultaneamente se e somente se A for hermitiana.]
Passo 9
Parte (e): diagonalização quando A é hermitiana.
Assuma agora que A é hermitiana, portanto \beta=\overline{\alpha}. Então
todos reais. Podemos escolher autovetores ortonormais (porque matriz hermitiana é diagonalizável por matriz unitária). Tomando as versões normalizadas dos vetores do Passo 3, e simplificando a fase, note que
As colunas de C são autovetores normalizados e mutuamente ortogonais; por isso C é unitária e C^{-1}=C^*. Então, como A u_j=\lambda_j u_j para j=1,2,3, temos (pela propriedade padrão de diagonalização por mudança de base)