Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \mathbb{R}^{4} espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=z\right. e \left.t=3 z\right\};

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x = z \text{ e } t = 3z\}
e pede para verificar se W é subespaço de \mathbb{R}^4. Para isso, vamos usar o teste de subespaço: verificar se o vetor nulo está em W, se W é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a W.
Como x=0, z=0 e t=0, temos 0=z e 0=3\cdot 0. Logo (0,0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W,\quad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W.
Como u\in W e v\in W, vale x_1=z_1, t_1=3z_1, x_2=z_2, t_2=3z_2.
Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
Como x_1+x_2 = z_1+z_2 e
t_1+t_2 = 3z_1 + 3z_2 = 3(z_1+z_2),
segue u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e
u = (x,y,z,t)\in W,\quad \text{com }x=z,\;t=3z.
Então
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z,\;\alpha t).
Temos \alpha x = \alpha z e
\alpha t = \alpha\,(3z) = 3(\alpha z),
logo \alpha u\in W.

Passo 5

Como o vetor nulo está em W e W é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Resposta

W é um subespaço de \mathbb{R}^4.

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