Considere os seguintes pontos no plano cartesiano:
.
Determine a reta
que melhor se ajusta a estes pontos (minimiza erro quadrático).
Determine a reta
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no plano cartesiano e pede a reta
que melhor se ajusta a esses pontos no sentido de minimizar o erro quadrático total. Os pontos fornecidos são:
O que precisamos encontrar é o valor de
(inclinação) e de
(intercepto) da reta
que torna o somatório dos quadrados dos erros (diferenças verticais entre os pontos e a reta) o menor possível.
Passo 2
Vamos definir claramente o que é o erro que vamos minimizar. Para cada ponto
a reta proposta dá um valor previsto
. O resíduo (erro) é
. Queremos minimizar a soma dos quadrados desses resíduos:
Aqui
é o número de pontos (no nosso caso
). A ideia prática: variando
e
procuramos o ponto mínimo da função
. Para achar esse mínimo, derivamos
em relação a
e a
e igualamos as derivadas a zero (condição de mínimo). As equações resultantes são chamadas de equações normais.
Passo 3
Formulemos as equações normais. Calculamos as derivadas parciais:
Simplificando (dividindo por
) obtemos as equações lineares:
Essas duas equações permitem resolver para
e
. Para usá-las precisamos calcular os somatórios com os dados fornecidos.
Passo 4
Calculemos os somatórios usando os dados (cada quantidade é mostrada explicitamente):
Passo 5
Agora substituímos esses somatórios nas equações normais. As equações escritas em forma matricial/algébrica são:
Substituindo números:
Vamos resolver esse sistema para
e
. Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
já está em forma direta; podemos eliminar
ou
. Uma forma prática é usar a fórmula direta para
:
Substituindo os valores que calculamos:
Em decimal isso é
.]
Passo 6
Com
encontrado, obtemos
pela primeira equação:
Substituindo
:
Em decimal isso é
.
Passo 7
Interpretação final: a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros para os pontos dados tem inclinação
e intercepto
. Em forma decimal, a equação é
.