Considere os seguintes pontos no plano cartesiano: (-1,0),(0,1),(1,3),(2,9).
Determine a reta y=m x+b que melhor se ajusta a estes pontos (minimiza erro quadrático).

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no plano cartesiano e pede a reta \,y=mx+b que melhor se ajusta a esses pontos no sentido de minimizar o erro quadrático total. Os pontos fornecidos são:
(-1,0),\quad (0,1),\quad (1,3),\quad (2,9).
O que precisamos encontrar é o valor de \,m (inclinação) e de \,b (intercepto) da reta \,y=mx+b que torna o somatório dos quadrados dos erros (diferenças verticais entre os pontos e a reta) o menor possível.

Passo 2

Vamos definir claramente o que é o erro que vamos minimizar. Para cada ponto (x_i,y_i) a reta proposta dá um valor previsto \, \hat{y}_i = m x_i + b. O resíduo (erro) é \,e_i = y_i - \hat{y}_i. Queremos minimizar a soma dos quadrados desses resíduos:
S(m,b)=\sum_{i=1}^{n} e_i^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(m x_i+b)\bigr)^{2}.
Aqui \,n é o número de pontos (no nosso caso \,n=4). A ideia prática: variando \,m e \,b procuramos o ponto mínimo da função S(m,b). Para achar esse mínimo, derivamos S em relação a m e a b e igualamos as derivadas a zero (condição de mínimo). As equações resultantes são chamadas de equações normais.

Passo 3

Formulemos as equações normais. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(m x_i+b)\bigr)=0, \qquad \frac{\partial S}{\partial m}=-2\sum_{i=1}^{n}x_i\bigl(y_i-(m x_i+b)\bigr)=0.
Simplificando (dividindo por -2) obtemos as equações lineares:
\sum_{i=1}^{n} (y_i) = m\sum_{i=1}^{n} (x_i) + n b,
\sum_{i=1}^{n} (x_i y_i) = m\sum_{i=1}^{n} (x_i^{2}) + b\sum_{i=1}^{n} (x_i).
Essas duas equações permitem resolver para m e b. Para usá-las precisamos calcular os somatórios com os dados fornecidos.

Passo 4

Calculemos os somatórios usando os dados (cada quantidade é mostrada explicitamente):
n=4.
\sum_{i=1}^{n} x_i = (-1)+0+1+2 = 2.
\sum_{i=1}^{n} y_i = 0+1+3+9 = 13.
\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} = (-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2} = 1+0+1+4 = 6.
\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = (-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 9 = 0+0+3+18 = 21.

Passo 5

Agora substituímos esses somatórios nas equações normais. As equações escritas em forma matricial/algébrica são:
\begin{cases} \sum y_i = m\sum x_i + n b,\\[4pt] \sum x_i y_i = m\sum x_i^{2} + b\sum x_i. \end{cases}
Substituindo números:
\begin{cases} 13 = m\cdot 2 + 4 b,\\[4pt] 21 = m\cdot 6 + b\cdot 2. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema para m e b. Multiplicando a primeira equação por 1 e a segunda por 1 já está em forma direta; podemos eliminar b ou m. Uma forma prática é usar a fórmula direta para m:
m=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^{2}}.
Substituindo os valores que calculamos:
m=\frac{4\cdot 21 - (2)(13)}{4\cdot 6 - (2)^{2}}=\frac{84 - 26}{24 - 4}=\frac{58}{20}=\frac{29}{10}.
Em decimal isso é \,m=\frac{29}{10}=2,9.]

Passo 6

Com m encontrado, obtemos b pela primeira equação:
13 = m\cdot 2 + 4 b \quad\Rightarrow\quad 4b = 13 - 2m \quad\Rightarrow\quad b=\frac{13-2m}{4}.
Substituindo m=\dfrac{29}{10}:
b=\frac{13-2\cdot \tfrac{29}{10}}{4}=\frac{13-\tfrac{58}{10}}{4}=\frac{\tfrac{130}{10}-\tfrac{58}{10}}{4}=\frac{\tfrac{72}{10}}{4}=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{36}{20}=\frac{9}{5}.
Em decimal isso é \,b=\frac{9}{5}=1,8.

Passo 7

Interpretação final: a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros para os pontos dados tem inclinação \,m=\dfrac{29}{10} e intercepto \,b=\dfrac{9}{5}. Em forma decimal, a equação é \,y=2,9x+1,8.

Resposta

y=\frac{29}{10}x+\frac{9}{5}

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