O que se pede: encontrar as soluções de quadrados mínimos (isto é, o vetor x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos das equações, ou seja minimiza \|Ax-b\|^{2}, onde A e b representam o sistema acima).
Passo 2
Conceito e método (aula rápida, sem pular etapas).
Quando temos um sistema Ax=b que pode não ter solução exata (tipicamente porque há mais equações que incógnitas ou equações inconsistentes), a solução de quadrados mínimos é o vetor x que minimiza a função
\varphi(x)=\|Ax-b\|^{2}=(Ax-b)^{T}(Ax-b).
Para encontrar o minimizador, derivamos (gradiente) em relação a x e igualamos a zero. Isso leva às equações normais
A^{T}A x = A^{T} b.
Essas equações normais são um sistema linear de 3 equações (aqui) cuja solução dá a solução de mínimos quadrados. Desde que A^{T}A seja invertível (por exemplo se as colunas de A forem linearmente independentes), a solução é única e dada por
x=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b.
Portanto, o procedimento prático: montar A e b, calcular A^{T}A e A^{T}b, e resolver A^{T}A x = A^{T}b.
Passo 3
Montar A e b a partir do sistema.
Escrevemos cada equação na forma a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=b_{i}. Assim as linhas de A e as entradas de b são:
Equação 1: 1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=4 → primeira linha de A é (1,1,1) e b_{1}=4.
Equação 2: -1\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}+1\cdot x_{3}=0 → segunda linha (-1,1,1), b_{2}=0.