Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz $ A $. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e inversas, um tópico da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz usando o método da matriz aumentada e operações elementares de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz $ A $ junto com a matriz identidade do mesmo tamanho, formando uma matriz aumentada A . A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Para uma matriz 4x4, a identidade $ I $ é:
[A | I]
Então, a matriz aumentada fica:
I
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada, que é $ A $, na matriz identidade $ I $, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra). Conforme fazemos isso, as operações afetarão a parte direita, que acabarão se tornando $ A^{-1} $.
Passo 4
Vamos começar pela primeira coluna. Queremos ter um 1 na posição (1,1) e zeros abaixo dela.
A primeira linha já tem 1 na posição (1,1), então podemos usá-la para eliminar os -1 na segunda linha, 3 na terceira linha e 2 na quarta linha.
Primeiro, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Agora, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha e 2 vezes a primeira linha da quarta linha para eliminar os valores abaixo de 1 na primeira coluna.
Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -1 lá. Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para conseguir isso.
Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos ter um 1 na posição (4,4), que já temos. Vamos usar essa linha para eliminar os 5 na primeira linha e -2 na segunda linha.
Primeiro, podemos subtrair 5 vezes a quarta linha da primeira linha: