Considere a matrix seguinte:
A=(rrrr 1 & 2 & 0 & 1 -1 & -3 & 0 & 1 3 & 6 & 1 & 3 2 & 4 & 0 & 3 )
Encontre a inversa de A.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz $ A $. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e inversas, um tópico da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz usando o método da matriz aumentada e operações elementares de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz $ A $ junto com a matriz identidade do mesmo tamanho, formando uma matriz aumentada A . A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. Para uma matriz 4x4, a identidade $ I $ é:
[A | I]
Então, a matriz aumentada fica:
I

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada, que é $ A $, na matriz identidade $ I $, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra). Conforme fazemos isso, as operações afetarão a parte direita, que acabarão se tornando $ A^{-1} $.

Passo 4

Vamos começar pela primeira coluna. Queremos ter um 1 na posição (1,1) e zeros abaixo dela.
A primeira linha já tem 1 na posição (1,1), então podemos usá-la para eliminar os -1 na segunda linha, 3 na terceira linha e 2 na quarta linha.
Primeiro, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + Linha1:
(rrrr|rrrr 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 3 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 5

Agora, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha e 2 vezes a primeira linha da quarta linha para eliminar os valores abaixo de 1 na primeira coluna.
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1:
(rrrr|rrrr 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 )
Linha4 = Linha4 - 2 * Linha1:
(rrrr|rrrr 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 )

Passo 6

Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -1 lá. Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para conseguir isso.
Linha2 = -1 * Linha2:
(rrrr|rrrr 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 )

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar os 2 na primeira coluna e os 0 já estão ok nas linhas 3 e 4.
Vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 2 * Linha2:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 5 & 3 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 )

Passo 8

Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos ter um 1 na posição (4,4), que já temos. Vamos usar essa linha para eliminar os 5 na primeira linha e -2 na segunda linha.
Primeiro, podemos subtrair 5 vezes a quarta linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 5 * Linha4:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 13 & 2 & 0 & -5 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 )
Em seguida, adicionamos 2 vezes a quarta linha à segunda linha para eliminar o -2:
Linha2 = Linha2 + 2 * Linha4:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 13 & 2 & 0 & -5 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 )

Passo 9

Agora, nossa matriz à esquerda é a identidade, e a parte à direita é a inversa de $ A $. Portanto, a inversa de $ A $ é:
A

Resposta

A inversa da matriz $ A $ é:
A

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