Resolva a Equação Diferencial:
l X^2 y^prime prime-2 y=x+1 Y(0)=1 Y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
X^2 y'' - 2 y = x + 1
Além disso, temos as condições iniciais $ Y(0) = 1 $ e $ Y’(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e solução por série de potências, já que o coeficiente $ X^{2} $ na frente de $ y’’ $ complica um pouco as coisas. Vamos precisar montar uma série de potências para $ y $ e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ X = 0 $:
y
Derivando termo a termo, temos:
X = 0
y = sumn=0^infty an X^n
Multiplicando $ y’’ $ por $ X^2 $:
y' = sumn=1^infty n an X^n-1

Passo 3

Agora, substituímos $ X^{2} y’’ $ e $ y $ na equação original:
X^2 y''
Para igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ X $, ajustamos os índices das somas para que todas comecem em $ n = 0 $:
y

Passo 4

Igualando os coeficientes de cada potência de $ X $ dos dois lados da equação, obtemos a relação de recorrência:
X
Isso nos permite encontrar cada $ a_{n+2} $ em termos de $ a_n $.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
  • $ Y(0) = 1 $ implica que $ a_0 = 1 $.
  • $ Y’(0) = 0 $ implica que $ a_1 = 0 $.
    Agora, usando a relação de recorrência para $ n = 0 $:
Y(0) = 1
Para $ n = 1 $:
a0 = 1
Para $ n \geq 2 $:
Y'(0) = 0
Vamos calcular mais alguns coeficientes:
  • Para $ n = 2 $:
a1 = 0
  • Para $ n = 3 $:
n = 0
E assim por diante.

Resposta

A solução da equação diferencial, satisfazendo as condições iniciais, é dada pela série de potências:
y = 1 + 32 X^2 + 16 X^3 + 14 X^4 + 160 X^5 + dots
Onde os coeficientes $ a_n $ seguem a relação de recorrência $ a_{n+2} = \frac{2}{(n+2)(n+1)} a_n $.

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