Resolva a Equação Diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Além disso, temos as condições iniciais $ Y(0) = 1 $ e $ Y’(0) = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e solução por série de potências, já que o coeficiente $ X^{2} $ na frente de $ y’’ $ complica um pouco as coisas. Vamos precisar montar uma série de potências para $ y $ e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ X = 0 $:
Derivando termo a termo, temos:
Multiplicando $ y’’ $ por $ X^2 $:
Passo 3
Agora, substituímos $ X^{2} y’’ $ e $ y $ na equação original:
Para igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ X $, ajustamos os índices das somas para que todas comecem em $ n = 0 $:
Passo 4
Igualando os coeficientes de cada potência de $ X $ dos dois lados da equação, obtemos a relação de recorrência:
Isso nos permite encontrar cada $ a_{n+2} $ em termos de $ a_n $.
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
- $ Y(0) = 1 $ implica que $ a_0 = 1 $.
- $ Y’(0) = 0 $ implica que $ a_1 = 0 $.
Agora, usando a relação de recorrência para $ n = 0 $:
Para $ n = 1 $:
Para $ n \geq 2 $:
Vamos calcular mais alguns coeficientes:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
E assim por diante.
Resposta
A solução da equação diferencial, satisfazendo as condições iniciais, é dada pela série de potências:
Onde os coeficientes $ a_n $ seguem a relação de recorrência $ a_{n+2} = \frac{2}{(n+2)(n+1)} a_n $.