Determine a,b para que f seja diferenciável em x=3
l F(x)=x^wed>= 2+2 x-3, x=<3 a x+b, x>3

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ F(x) $ seja diferenciável em $ x = 3 $. A função está dividida em duas partes:
a
Para que $ F(x) $ seja diferenciável em $ x = 3 $, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas iguais pela esquerda e pela direita. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 3 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 3 $.
Vamos calcular:
Para $ x \leq 3 $:
x = 3
Para $ x > 3 $, o limite quando $ x $ se aproxima de 3 é:
x
Como a função deve ser contínua:
x = 3 çã

Passo 3

Agora, precisamos garantir que as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 3 $ sejam iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para $ x \leq 3 $:
x = 3
Então, em $ x = 3 $:
x <= 3
Para $ x > 3 $:
F'(x) = ddx(x^2 + 2x - 3) = 2x + 2
Então:
x = 3
Como as derivadas devem ser iguais:
F'(3^-) = 2 cdot 3 + 2 = 8 çã

Passo 4

Agora que já temos $ a = 8 $ da Equação 2, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar $ b $:
a = 8

Resposta

Os valores que tornam $ F(x) $ diferenciável em $ x = 3 $ são $ a = 8 $ e $ b = -12 $.

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