Considere a matriz A3 times 3 dada por: ccc1 & k alpha & alpha k alpha & alpha & k alpha alpha & k alpha & 1
a) Calcule det(A).
b) Mostre que os valores de alpha para os quais A é singular são dados por: k=4 encontre o resultado para .

Passo 1

Temos a matriz 3×3 dada por
A= 1 & kalpha & alpha kalpha & alpha & kalpha alpha & kalpha & 1
O enunciado pede (a) calcular det(A) e (b) achar os alpha que tornam A singular ( det(A)=0), avaliando depois o caso k=4. Vamos usar expansão por co-fatores e resolução de equação quadrática.

Passo 2

Fazendo expansão por co-fatores na primeira linha: escrevemos
det(A)=1cdot alpha & kalpha kalpha & 1 - kalphacdot kalpha & kalpha alpha & 1 + alphacdot kalpha & alpha alpha & kalpha

Passo 3

Agora calculamos cada determinante 2×2:
alpha & kalpha kalpha & 1=alpha- k^2alpha^2, kalpha & kalpha alpha & 1=kalpha(1-alpha), kalpha & alpha alpha & kalpha=alpha^2(k^2-1)
Substituindo na expansão e reunindo termos, obtemos
det(A)=alpha - k^2alpha^2 - k^2alpha^2(1-alpha) + alpha^3(k^2-1)

Passo 4

Simplificando os termos:
det(A)=alpha -2k^2alpha^2 + (2k^2-1)alpha^3 =alphal((2k^2-1)alpha^2 -2k^2alpha +1r)
Para A ser singular, precisamos de det(A)=0, ou seja alpha=0 ou
$$(2k2-1)\alpha2 -2k^2\alpha +1=0.
$$

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante:
alpha=2k^2pmraiz(-2k^2)^2-4(2k^2-1)cdot12(2k^2-1) =2k^2pm2|k^2-1|2(2k^2-1),
que dá as raízes alpha=1 e alpha=1/(2k^2-1).

Passo 6

Concluímos que os valores de alpha que tornam A singular são
S=0,,1/(2k^2-1),,1
Para k=4 temos 2k^2-1=31 e
S=0,,1/31,,1

Resposta

Os valores de alpha que anulam det(A) são \n S=0,,tfrac12k^2-1,,1,
e, para k=4, 2k^2-1=31 e
S=0,,tfrac131,,1

Exercícios relacionados