Considere a matriz: .
a) Dê uma expressão para A A^t e encontre o seu rank.
b) Encontre os autovalores e autovetores de A A^t. Mostre que os autovetores não dependem do valor de a.
c) Considerando a=1 faça a decomposição em valores singulares de A.
Passo 1
Temos a matriz
A3times6= a & -a & -a & a & -a & -a a & -a & a & -a & a & -a -a & a & a & -a & a & a
Como essa matriz tem dois autovalores não nulos (isto é, dimensão do espaço gerado pelas linhas é 2), o posto é 2.
Passo 3
Como AA^t=6a^2M com
M=1&0&-10&1&0-1&0&1,
calculamos os autovalores de M: vendo que M(1,0,-1)^t=0, M(1,0,-1)^t=0 dá lambda3=0; M(1,0,1)^t=2(1,0,1)^t dá lambda1=2; M(0,1,0)^t=1(0,1,0)^t dá lambda2=1.
Logo os autovalores de AA^t são
lambda1=12a^2,lambda2=6a^2,lambda3=0,
com autovetores independentes de a:
$$
u_1=(1,0,1)^t,
\quad
u_2=(0,1,0)^t,
\quad
nu_3=(1,0,-1)^t.
$$
Passo 4
Para a=1 os valores singulares são as raízes dos autovalores não negativos de AA^t:
sigma1=raiz12=2raiz3,sigma2=raiz6,sigma3=0
Os vetores ui de U são os autovetores normalizados: