Considere a matriz: cccccca & -a & -a & a & -a & -a a & -a & a & -a & a & -a -a & a & a & -a & a & a.
a) Dê uma expressão para A A^t e encontre o seu rank.
b) Encontre os autovalores e autovetores de A A^t. Mostre que os autovetores não dependem do valor de a.
c) Considerando a=1 faça a decomposição em valores singulares de A.

Passo 1

Temos a matriz
A3times6= a & -a & -a & a & -a & -a a & -a & a & -a & a & -a -a & a & a & -a & a & a
O enunciado pede: (a) calcular AA^t e seu posto (rank); (b) obter autovalores e autovetores de AA^t e mostrar que não dependem de a; © para a=1, fazer a decomposição em valores singulares (SVD) de A. Para isso vamos usar definição de produto de matrizes, teoria de autovalores de matrizes simétricas e definição de SVD.

Passo 2

Para achar AA^t usamos a fórmula
(AA^t)ik=sumj=1^6AijAkj
Fazendo o produto escalar entre as linhas de A obtemos
AA^t=6a^2&0&-6a^20&6a^2&0-6a^2&0&6a^2=6a^21&0&-10&1&0-1&0&1
Como essa matriz tem dois autovalores não nulos (isto é, dimensão do espaço gerado pelas linhas é 2), o posto é 2.

Passo 3

Como AA^t=6a^2M com
M=1&0&-10&1&0-1&0&1,
calculamos os autovalores de M: vendo que
M(1,0,-1)^t=0,
M(1,0,-1)^t=0 lambda3=0;
M(1,0,1)^t=2(1,0,1)^t lambda1=2;
M(0,1,0)^t=1(0,1,0)^t lambda2=1.
Logo os autovalores de AA^t são
lambda1=12a^2,lambda2=6a^2,lambda3=0,
com autovetores independentes de a:
$$
u_1=(1,0,1)^t,
\quad
u_2=(0,1,0)^t,
\quad
nu_3=(1,0,-1)^t.
$$

Passo 4

Para a=1 os valores singulares são as raízes dos autovalores não negativos de AA^t:
sigma1=raiz12=2raiz3,sigma2=raiz6,sigma3=0
Os vetores ui de U são os autovetores normalizados:
U=l[u1;u2;u3r]= 1/raiz2&0&1/raiz20&1&0-1/raiz2&0&1/raiz2
Os vetores vi de V (thin SVD) vêm de vi=A^t ui/sigmai:
v1=1raiz3(1,-1,-1,1,-1,-1)^t, v2=1raiz6(1,-1,1,-1,1,-1)^t
Assim a decomposição truncada é
A=U2Sigma2V2^t,
com
U2=1/raiz2&00&1-1/raiz2&0, Sigma2=2raiz3&00&raiz6, V2=l[v1;v2r]

Resposta

(a) AA^t=6a^21&0&-10&1&0-1&0&1, rank(AA^t)=2 (b) Autovalores: 12a^2,6a^2,0; autovetores (independentes de a): (1,0,1)^t,(0,1,0)^t,(1,0,-1)^t © Para a=1, valores singulares 2raiz3,raiz6,0 e SVD truncada
A=U2Sigma2V2^t com
U2=1/raiz2&00&1-1/raiz2&0,Sigma2=2raiz3&00&raiz6,
e
V2=[tfrac1raiz3(1,-1,-1,1,-1,-1)^t;tfrac1raiz6(1,-1,1,-1,1,-1)^t]

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