Considere a matriz ccc1 & -2 & -3 1 & 3 & 2.
a) Obtenha os autovalores e autovetores de A A^t.
b) Componha as matrizes U, D e V e faça a decomposição em valores singulares de A.
c) Determine A^t A, encontre seus autovalores e verifique que os autovalores diferentes de zero são iguais aos de A A^t.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a matriz 2×3 A=1 & -2 & -3 1 & 3 & 2. O conteúdo envolve cálculo de autovalores e autovetores de AA^T, determinação da SVD (autovalores de A^TA e montagem das matrizes U,D,V), e verificação da igualdade dos autovalores não nulos de AA^T e A^TA.

Passo 2

Calculamos AA^T e encontramos seus autovalores e autovetores:
AA^T=14 & -11 -11 & 14
Resolvendo det(AA^T-lambda I)=0 vem lambda1=25 e lambda2=3.
Para lambda1=25 o autovetor satisfaz x+y=0, dando (1,-1); para lambda2=3 satisfaz x-y=0, dando (1,1).
Normalizando,
$$
u_1=\frac1{\sqrt2} u1=1raiz21-1, u2=1raiz211,\quad u_2=\frac1{\sqrt2} .$$

Passo 3

Determinamos a SVD sabendo que os valores singulares são sigmai=raizlambdai. Logo sigma1=5 e sigma2=raiz3.
U tem colunas u1,u2 e D (ou Sigma) é 2×3:
U=1/raiz2 & 1/raiz2 -1/raiz2 & 1/raiz2, D=5 & 0 & 0 0 & raiz3 & 0
Para V calculamos
A^TA=2 & 1 & -1 1 & 13 & 12 -1 & 12 & 13
seus autovetores normalizados para 25,3,0 são
v1=tfrac1raiz2011, v2=tfrac1raiz621-1, v3=tfrac1raiz31-11
Assim
V=0 & 2/raiz6 & 1/raiz3 1/raiz2 & 1/raiz6 & -1/raiz3 1/raiz2 & -1/raiz6 & 1/raiz3,
logo A=UDV^T.

Passo 4

Já tínhamos
A^TA=2 & 1 & -1 1 & 13 & 12 -1 & 12 & 13
Resolvendo det(A^TA-lambda I)=0 obtemos lambda=25,3,0.
Assim, os autovalores não nulos de A^TA coincidem com 25,3, iguais aos de AA^T.

Resposta

a) Os autovalores de AA^T são 25 e 3, com autovetores normalizados
$$
u_1=\frac1{\sqrt2} u1=1raiz21-1, u2=1raiz211,\quad u_2=\frac1{\sqrt2} A=UDV^T. U=1/raiz2 & 1/raiz2 -1/raiz2 & 1/raiz2, D=5 & 0 & 0 0 & raiz3 & 0, V=0 & 2/raiz6 & 1/raiz3 1/raiz2 & 1/raiz6 & -1/raiz3 1/raiz2 & -1/raiz6 & 1/raiz3
\mathbf{U}= A^TA=2 & 1 & -1 1 & 13 & 12 -1 & 12 & 13, ,\quad
\mathbf{D}= 25,3,0,\quad
\mathbf{V}= 25,3.
AA^T
\mathbf{A}^T\mathbf{A}= ,
$$
autovalores , e os não nulos coincidem com os de .

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