Considere a matriz .
a) Obtenha os autovalores e autovetores de .
b) Componha as matrizes e e faça a decomposição em valores singulares de .
c) Determine , encontre seus autovalores e verifique que os autovalores diferentes de zero são iguais aos de .
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a matriz 2×3 . O conteúdo envolve cálculo de autovalores e autovetores de , determinação da SVD (autovalores de e montagem das matrizes ), e verificação da igualdade dos autovalores não nulos de e .
Passo 2
Calculamos e encontramos seus autovalores e autovetores:
Resolvendo vem e .
Para o autovetor satisfaz , dando ; para satisfaz , dando .
Normalizando,
$$
u_1=\frac1{\sqrt2},\quad u_2=\frac1{\sqrt2}.$$
Passo 3
Determinamos a SVD sabendo que os valores singulares são . Logo e . tem colunas e (ou ) é 2×3: