Considere a matriz A abaixo
A=[rrr -2 & 3 & k 1 & 3 & 1 -1 & 2 & k ]
a) Para que valores de k a matriz A não possui inversa?
b) Considerando k=-1 determine A^-1.
c) Considerando que A é a matriz dos coeficientes do sistema A X=B, onde
X=[l x y z ] e B=[c 1 6 0 ]
determine a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e pede três coisas:
Para quais a matriz não é invertível (ou seja, ).
Quando , calcular .
Ainda com , resolver o sistema , onde
Vamos usar determinantão para parte (a), método dos cofactores para parte (b) e, por fim, multiplicar na parte (c).

Passo 2

Calcular det A em função de k. Expandindo pela primeira linha:
det A =-2det3&12&k -3det1&1-1&k +kdet1&3-1&2
Agora cada menor:
det3&12&k=3k-2, det1&1-1&k=k+1, det1&3-1&2=2+3=5
Logo
det A =-2(3k-2)-3(k+1)+kcdot5 =-6k+4-3k-3+5k =1-4k

Passo 3

A condição de não inversibilidade é det A=0, ou seja
1-4k=0 Longrightarrow k=tfrac14

Passo 4

Para k=-1 temos
A= -2 & 3 & -1 1 & 3 & 1 -1 & 2 & -1 ,
e o determinante vale det A=1-4(-1)=5. Vamos montar a matriz dos cofactores C=(Cij), transpor para obter a adjunta adj(A)=C^T e depois
A^-1=1det A,adj(A)
O cálculo dos menores e sinais dá
C= -5 & 0 & 5 1 & 1 & 1 6 & 1 & -9 , adj(A)=C^T = -5 & 1 & 6 0 & 1 & 1 5 & 1 & -9
Portanto
A^-1=15 -5 & 1 & 6 0 & 1 & 1 5 & 1 & -9

Passo 5

Agora resolvemos por
Compute o produto interno:
e dividindo por

Resposta

a) k=tfrac14
b) Para k=-1:
A^-1=15 -5 & 1 & 6 0 & 1 & 1 5 & 1 & -9
c) A solução do sistema é
(x,y,z)=l(tfrac15,;tfrac65,;tfrac115r)

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