a) Para que valores de k a matriz A não possui inversa?
b) Considerando k=-1 determine A^-1.
c) Considerando que A é a matriz dos coeficientes do sistema A X=B, onde
X=[l x y z ] e B=[c 1 6 0 ]
determine a solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede três coisas: Para quais a matriz não é invertível (ou seja, ). Quando , calcular . Ainda com , resolver o sistema , onde
Vamos usar determinantão para parte (a), método dos cofactores para parte (b) e, por fim, multiplicar na parte (c).
Passo 2
Calcular det A em função de k. Expandindo pela primeira linha:
det A =-2det3&12&k -3det1&1-1&k +kdet1&3-1&2
Agora cada menor:
det3&12&k=3k-2, det1&1-1&k=k+1, det1&3-1&2=2+3=5
Logo
det A =-2(3k-2)-3(k+1)+kcdot5 =-6k+4-3k-3+5k =1-4k
Passo 3
A condição de não inversibilidade é det A=0, ou seja
1-4k=0 Longrightarrow k=tfrac14
Passo 4
Para k=-1 temos
A= -2 & 3 & -1 1 & 3 & 1 -1 & 2 & -1 ,
e o determinante vale det A=1-4(-1)=5. Vamos montar a matriz dos cofactores C=(Cij), transpor para obter a adjunta adj(A)=C^T e depois