Determine se os conjuntos abaixo são grupos com a operação indicada: com a operação de multiplicação.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação de multiplicação usual de números complexos. Estamos em teoria de grupos e precisamos verificar os quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: sejam . Então e . Usando a propriedade do módulo temos
logo . Portanto a multiplicação fecha em .
Passo 3
Associatividade: a multiplicação de complexos é associativa em , ou seja, para quaisquer vale
Isso garante a associatividade no subconjunto .
Passo 4
Elemento neutro: o número satisfaz , então . E para todo temos
Logo é o elemento neutro de .
Passo 5
Inversos: para temos e , então existe em . Além disso,
portanto z^-1in A, e
zcdot z^-1 = 1 = z^-1cdot z
Isso mostra que todo elemento de A tem inverso em A.
Resposta
Sim. O conjunto A=zinCmid|z|=1 com a multiplicação forma um grupo abeliano.