Determine se os conjuntos abaixo são grupos com a operação indicada:
A=z in C:|z|=1 com a operação de multiplicação.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = ,z in Cmid |z|=1
com a operação de multiplicação usual de números complexos. Estamos em teoria de grupos e precisamos verificar os quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: sejam z1,z2in A. Então |z1|=1 e |z2|=1. Usando a propriedade do módulo temos
|z1z2| = |z1|cdot|z2| = 1cdot1 = 1,
logo z1z2in A. Portanto a multiplicação fecha em A.

Passo 3

Associatividade: a multiplicação de complexos é associativa em C, ou seja, para quaisquer z1,z2,z3in A vale
(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Isso garante a associatividade no subconjunto A.

Passo 4

Elemento neutro: o número 1inC satisfaz |1|=1, então 1in A. E para todo zin A temos
zcdot1 = z = 1cdot z
Logo 1 é o elemento neutro de A.

Passo 5

Inversos: para zin A temos zneq0 e |z|=1, então z^-1 = 1z existe em C. Além disso,
l|z^-1r| = 1|z| = 1,
portanto z^-1in A, e
zcdot z^-1 = 1 = z^-1cdot z
Isso mostra que todo elemento de A tem inverso em A.

Resposta

Sim. O conjunto A=zinCmid|z|=1 com a multiplicação forma um grupo abeliano.

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