Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
e) F: M2(R)-M2(R) definido por F(X)=MX+X com M=(ll1 & 1 0 & 0)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon M2(R) to M2(R), F(X)=MX+X,
em que
M = 1 & 10 & 0
Queremos encontrar uma base e a dimensão de ker F e de Im,F. Vamos usar propriedades de multiplicação à esquerda por matrizes.

Passo 2

Note que
F(X)=MX+X=(M+I),X,
onde
A = M + I = 1&10&0 + 1&00&1 = 2&10&1
Assim F é a aplicação “multiplicação à esquerda por A”.

Passo 3

Calculemos o determinante de A:
det(A)=2cdot 1 - 1cdot 0 = 2 neq 0
Como det(A)neq 0, a matriz A é invertível. Logo a aplicação Xmapsto AX é injetora e sobrejetora em M2(R).

Passo 4

Para achar ker F, resolvemos
A,X = 0
Seja X=(c1;;c2) com c1,c2inR^2 colunas de X. Então A,ci=0 para i=1,2. Mas ker(A)=0 (pois A é inversível). Logo cada ci=0, isto é, X=0. Portanto
ker F = 0, dimker F = 0,
e a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 5

Como A é inversível, F é sobrejetora e
Im,F = M2(R)
O espaço M2(R) tem dimensão 4. Uma base usual para Im,F (base canônica) é
E11 = 1&00&0,; E12 = 0&10&0,; E21 = 0&01&0,; E22 = 0&00&1

Resposta

Base de ker F: varnothing.
dimker F = 0.
Base de Im,F:
E11,E12,E21,E22
dimIm,F = 4.

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