Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares:
e)
definido por
com
e)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
em que
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
ker F e de
Im,F . Vamos usar propriedades de multiplicação à esquerda por matrizes.
Passo 2
Note que
onde
Assim
F é a aplicação “multiplicação à esquerda por
A ”.
Passo 3
Calculemos o determinante de
A :
Como
det(A)neq 0 , a matriz
A é invertível. Logo a aplicação
Xmapsto AX é injetora e sobrejetora em
M2(R) .
Passo 4
Para achar
ker F , resolvemos
Seja
X=(c1;;c2) com
c1,c2inR^2 colunas de
X . Então
A,ci=0 para
i=1,2 . Mas
ker(A)=0 (pois
A é inversível). Logo cada
ci=0 , isto é,
X=0 . Portanto
e a base do núcleo é o conjunto vazio.
Passo 5
Como
A é inversível,
F é sobrejetora e
O espaço
M2(R) tem dimensão 4. Uma base usual para
Im,F (base canônica) é
Resposta
Base de
ker F :
varnothing .
dimker F = 0 .
Base de
Im,F :