Considere a matriz A abaixo
A=[ccc x-2 & x+3 & x-1 2 & 1 & 3 3 & 3 & 1 ]
a) Determine o valor de x para que a matriz A não seja inversível.
b) Para x=1 determine A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= x-2 & x+3 & x-1 2 & 1 & 3 3 & 3 & 1
e pede:
a) o valor de x que faz A não ter inversa (ou seja, det(A)=0);
b) para x=1, encontrar A^-1.
Vamos usar:
  1. Cálculo de determinante de matriz 3times3.
  2. Método da matriz de cofatores (adjunta) para inverter.

Passo 2

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A)=(x-2)det1&33&1 -(x+3)det2&33&1 +(x-1)det2&13&3
Avalia cada menor:
det1&33&1=1cdot1-3cdot3=-8, det2&33&1=2cdot1-3cdot3=-7,
det2&13&3=2cdot3-1cdot3=3
Logo
det(A)=(x-2)(-8)-(x+3)(-7)+(x-1),3 =-8x+16+7x+21+3x-3=2x+34=2(x+17)
Para não invertível, det(A)=0implies x+17=0implies x=-17.

Passo 3

Agora fixa x=1. A matriz vira
A= -1 & 4 & 0 2 & 1 & 3 3 & 3 & 1 ,
com det(A)=2cdot1+34=36.
Para usar adjunta, calculamos a matriz de cofatores C=(Cij):
C11=-8,;C12=7,;C13=3,; C21=-4,;C22=-1,;C23=15,; C31=12,;C32=3,;C33=-9

Passo 4

A adjunta é adj(A)=C^T, ou seja
adj(A)= -8 & -4 & 12 7 & -1 & 3 3 & 15 & -9
Finalmente
A^-1=1det(A),adj(A) =136 -8 & -4 & 12 7 & -1 & 3 3 & 15 & -9

Resposta

(a) x=-17.
(b) Para x=1,
A^-1=136 -8 & -4 & 12 7 & -1 & 3 3 & 15 & -9

Exercícios relacionados