Questão 2 Considere uma elipse em
com as seguintes características:
- contida no plano
- de centro (
)
- eixo maior de tamanho 10 e contido na reta
- semieixo menor medindo 3
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- A elipse está contida no plano
. - Centro da elipse:
. - Eixo maior tem comprimento
e está contido na reta . - Semieixo menor tem comprimento
(ou seja, semieixo menor ).
- A elipse está contida no plano
-
O que é pedido:
- (b) Determinar a equação do elipsoide obtido ao rotacionar essa elipse em torno do seu eixo menor.
Passo 2
Entender a posição e orientação da elipse no plano
e extrair os semieixos.
- A reta dada para o eixo maior é
. O vetor diretor é , que é paralelo ao eixo . Verifico se essa reta passa pelo centro : tomando obtém-se . Logo a reta contém o centro; portanto o eixo maior é paralelo ao eixo e passa pelo centro. - Comprimento do eixo maior é
, então o semieixo maior é . - O semieixo menor é dado como
. Como a elipse está em e o eixo maior está na direção , o eixo menor está na direção (perpendicular ao eixo maior dentro do plano), passando pelo centro.
Assim, em coordenadas cartesianas com origem no mesmo sistema dado, a elipse tem semieixo na direção
de tamanho
e na direção
de tamanho
.
Passo 3
Escrever a equação da elipse no plano
.
- Uma elipse centrada em
no plano com semieixos ao longo de e ao longo de tem equação
- Substituindo
e , e lembrando que a elipse está em , a equação da elipse é
Ou seja,
Passo 4
Entender o que significa rotacionar a elipse em torno do eixo menor e como traduzir isso em equação.
- O eixo menor é a reta que passa pelo centro na direção
, ou seja a reta
- Rotacionar a elipse em torno de
significa: cada ponto da elipse descreve um círculo de centro e raio no plano perpendicular a . Em coordenadas, um ponto genérico do sólido rotacionado tem coordenadas tais que a distância ao eixo é igual a , onde é o valor de do ponto original da elipse com a mesma abscissa . - A distância de
ao eixo é . Para resultar da rotação do ponto da elipse, deve valer
Passo 5
Eliminar
usando a equação da elipse original e obter a equação do elipsoide.
- Da equação da elipse original temos, para cada abscissa
,
- Substituindo
pela expressão anterior na condição da rotação:
- Reorganizando para obter forma padrão, divido por
e somo o termo com :
- Separando os termos obtém-se a forma mais usual de um elipsoide:
Passo 6
Interpretação final e checagens (o que a equação significa).
- A equação
é um elipsoide centrado em
.
- Os semieixos principais são: ao longo de
com comprimento , e ao longo de e com comprimento . Isso faz sentido: ao girar em torno do eixo (eixo menor), as coordenadas e tornam-se simétricas e têm o mesmo semieixo , enquanto o eixo de rotação conserva o semieixo .