Questão 2 Considere uma elipse em mathbb{R}^{3} com as seguintes características:
  • contida no plano z=4
  • de centro ( 0,0,4 )
  • eixo maior de tamanho 10 e contido na reta (x, y, z)=(0,1,4)+\lambda(0,2,0)
  • semieixo menor medindo 3
    (b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A elipse está contida no plano z=4.
    • Centro da elipse: (0,0,4).
    • Eixo maior tem comprimento 10 e está contido na reta (x,y,z)=(0,1,4)+\lambda(0,2,0).
    • Semieixo menor tem comprimento 3 (ou seja, semieixo menor b=3).
  • O que é pedido:
    • (b) Determinar a equação do elipsoide obtido ao rotacionar essa elipse em torno do seu eixo menor.

Passo 2

Entender a posição e orientação da elipse no plano z=4 e extrair os semieixos.
  • A reta dada para o eixo maior é (0,1,4)+\lambda(0,2,0). O vetor diretor é (0,2,0), que é paralelo ao eixo y. Verifico se essa reta passa pelo centro (0,0,4): tomando \lambda=-\tfrac{1}{2} obtém-se (0,1+2(-\tfrac{1}{2}),4)=(0,0,4). Logo a reta contém o centro; portanto o eixo maior é paralelo ao eixo y e passa pelo centro.
  • Comprimento do eixo maior é 10, então o semieixo maior é a=5.
  • O semieixo menor é dado como b=3. Como a elipse está em z=4 e o eixo maior está na direção y, o eixo menor está na direção x (perpendicular ao eixo maior dentro do plano), passando pelo centro.
Assim, em coordenadas cartesianas com origem no mesmo sistema dado, a elipse tem semieixo na direção x de tamanho b=3 e na direção y de tamanho a=5.

Passo 3

Escrever a equação da elipse no plano z=4.
  • Uma elipse centrada em (0,0) no plano xy com semieixos b ao longo de x e a ao longo de y tem equação
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.
  • Substituindo b=3 e a=5, e lembrando que a elipse está em z=4, a equação da elipse é
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1,\qquad z=4.
Ou seja,
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1,\qquad z=4.

Passo 4

Entender o que significa rotacionar a elipse em torno do eixo menor e como traduzir isso em equação.
  • O eixo menor é a reta que passa pelo centro na direção x, ou seja a reta
L=\{(x,0,4)\mid x\in\mathbb{R}\}.
  • Rotacionar a elipse em torno de L significa: cada ponto (x,y,4) da elipse descreve um círculo de centro (x,0,4) e raio |y| no plano perpendicular a L. Em coordenadas, um ponto genérico do sólido rotacionado tem coordenadas (x,y,z) tais que a distância ao eixo L é igual a |y_{0}|, onde y_{0} é o valor de y do ponto original da elipse com a mesma abscissa x.
  • A distância de (x,y,z) ao eixo L é \sqrt{y^{2}+(z-4)^{2}}. Para resultar da rotação do ponto (x,y_{0},4) da elipse, deve valer
\sqrt{y^{2}+(z-4)^{2}} = |y_{0}|.

Passo 5

Eliminar y_{0} usando a equação da elipse original e obter a equação do elipsoide.
  • Da equação da elipse original temos, para cada abscissa x,
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y_{0}^{2}}{25}=1 \quad\Longrightarrow\quad y_{0}^{2}=25\Big(1-\frac{x^{2}}{9}\Big).
  • Substituindo y_{0}^{2} pela expressão anterior na condição da rotação:
y^{2}+(z-4)^{2}=25\Big(1-\frac{x^{2}}{9}\Big).
  • Reorganizando para obter forma padrão, divido por 25 e somo o termo com x^{2}:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}+(z-4)^{2}}{25}=1.
  • Separando os termos obtém-se a forma mais usual de um elipsoide:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}+\frac{(z-4)^{2}}{25}=1.

Passo 6

Interpretação final e checagens (o que a equação significa).
  • A equação
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}+\frac{(z-4)^{2}}{25}=1
é um elipsoide centrado em (0,0,4).
  • Os semieixos principais são: ao longo de x com comprimento 3, e ao longo de y e z com comprimento 5. Isso faz sentido: ao girar em torno do eixo x (eixo menor), as coordenadas y e z tornam-se simétricas e têm o mesmo semieixo 5, enquanto o eixo de rotação conserva o semieixo 3.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}+\frac{(z-4)^{2}}{25}=1

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