(a) \left[0.5 \mathrm{PON} \mathrm{T}^{\prime} \mathrm{OS}\right] Escreva a definicão de posto de uma matriz.
(b) [1.5 PONTOS] Determine o valor de t para que o posto da matriz
A=\left(\begin{array}{llll} 1 & t & t & t \\\ t & 1 & t & t \\\ t & t & 1 & t \\\ t & t & t & 1 \end{array}\right)
seja estritamente menor que 4.
Passo 1
O enunciado faz duas tarefas:
(a) Pedir a definição de posto de uma matriz.
(b) Determinar os valores de t para os quais o posto da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & t & t & t \\\ t & 1 & t & t \\\ t & t & 1 & t \\\ t & t & t & 1 \end{pmatrix}
é estritamente menor que 4.
Informações dadas que vamos usar:
A matriz A é uma matriz quadrada de ordem 4.
O parâmetro t é um número real (assume-se isso a menos que o enunciado diga o contrário).
Queremos os t tais que \mathrm{rank}(A)<4.
Passo 2
Definição pedida (resposta ao item (a)), explicada com calma.
Definição: o posto (ou rank) de uma matriz M é a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas. Em notação,
\mathrm{rank}(M)=\dim(\mathrm{span}\{\text{colunas de }M\}).
Explicando passo a passo o que isso significa:
Cada coluna de M é um vetor em \mathbb{R}^n (se M tiver n linhas).
O conjunto de todas as combinações lineares dessas colunas forma um subespaço vetorial (o espaço coluna).
A dimensão desse subespaço é o número máximo de colunas linearmente independentes; esse número é o posto.
Equivalências úteis (sempre verdadeiras):
O posto é também a dimensão do espaço gerado pelas linhas (posto das linhas = posto das colunas).
O posto é o maior inteiro r tal que existe um menor (determinante de uma submatriz quadrada) de ordem r diferente de zero.
Para matrizes quadradas n\times n, a matriz tem posto n (full rank) se e somente se \det(M)\neq0.
Um exemplo muito simples para fixar a ideia: uma matriz 2\times2 cujas colunas são múltiplos uma da outra (por exemplo \begin{pmatrix}1&2\\\ 2&4\end{pmatrix}) tem posto 1 porque as colunas são linearmente dependentes; se as colunas não são múltiplos, o posto é 2.
Passo 3
Estratégia para (b): como A é 4\times4, ela terá posto menor que 4 exatamente quando \det(A)=0. Vou então calcular \det(A) como função de t e achar seus zeros.
Observação útil sobre a forma de A: escrevo A como combinação de uma matriz identidade e da matriz de todas as entradas iguais a 1. Defina I como a identidade 4\times4 e J como a matriz 4\times4 com todas as entradas iguais a 1. Então
A = tJ + (1-t)I.
Verificação rápida: em qualquer posição diagonal, t\cdot 1 + (1-t)\cdot 1 = 1; em qualquer posição fora da diagonal, t\cdot 1 + (1-t)\cdot 0 = t. Logo a escrita está correta.
Passo 4
Propriedade de J (matriz de uns): a matriz J tem um autovetor \mathbf{1}=(1,1,1,1)^T com autovalor 4 (pois J\mathbf{1}=4\mathbf{1}), e qualquer vetor ortogonal a \mathbf{1} é autovetor de J com autovalor 0. Assim os autovalores de J são:
Como A=tJ+(1-t)I, um vetor próprio comum a J (e a I) continua sendo autovetor de A, e os autovalores de A obtêm-se somando (1-t) aos autovalores de tJ. Assim os autovalores de A são:
Para o autovetor \mathbf{1}: autovalor (1-t)+t\cdot 4 = 1 - t + 4t = 1+3t.
Para cada vetor no subespaço ortogonal a \mathbf{1} (multiplicidade 3): autovalor (1-t)+t\cdot 0 = 1-t.
Determinante via autovalores: para uma matriz quadrada, o determinante é o produto dos autovalores (contando multiplicidades). Logo
\det(A)=(1+3t)(1-t)^3.
Para que o posto seja estritamente menor que 4 precisamos de \det(A)=0. Então resolvemos
(1+3t)(1-t)^3=0.
As soluções são as raízes dos fatores:
1+3t=0 \quad\Rightarrow\quad t=-\tfrac{1}{3},
ou
1-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Passo 6
Interpretação dos casos (para ver o que acontece ao posto, não estritamente exigido pelo enunciado, mas útil para entendimento):
Se t=1, então A=J (matriz de todos uns). Essa matriz tem posto 1 porque todas as colunas são iguais. Logo \mathrm{rank}(A)=1<4.
Se t=-\tfrac{1}{3}, então o autovalor 1+3t é 0 e os três autovalores 1-t valem 1-(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{4}{3}\neq0. Assim há três autovalores não nulos, o que implica \mathrm{rank}(A)=3<4.
Em ambos os casos o posto é estritamente menor que 4; não há outros t que zerem o determinante.
Resposta
(a) O posto de uma matriz M é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (ou equivalentemente por suas linhas): \mathrm{rank}(M)=\dim(\mathrm{span}\{\text{colunas de }M\}). Equivalentes: é o máximo r tal que exista um menor de ordem r não nulo; para matrizes quadradas, \mathrm{rank}(M)=n sse \det(M)\neq0.