Considere a matriz A\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\\\ -4 & 3 & -4 \\\\ -2 & 1 & -2\end{array}\right)
a Calcule A^{8}
b Calcule e^{A}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1 \\[4pt] -4 & 3 & -4 \\[4pt] -2 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Ele pede duas coisas:
  • (a) calcular A^{8};
  • (b) calcular e^{A}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz quadrada 3\times3.
  • Não há mais dados externos; a solução usará propriedades algébricas de matrizes (autovalores, autovetores, diagonalização, e a definição de exponencial de matriz).]

Passo 2

Estratégia que vamos usar (ainda sem calcular): se conseguirmos diagonalizar A, ou seja escrever
A = P D P^{-1},
onde D é diagonal com os autovalores de A e as colunas de P são autovetores linearmente independentes, então:
  • para qualquer inteiro k vale
A^{k} = P D^{k} P^{-1},
porque A^{k} = (PDP^{-1})^{k} = P D^{k} P^{-1};
  • para a exponencial matricial vale
e^{A} = P e^{D} P^{-1},
onde e^{D} é a diagonal obtida aplicando exponencial a cada autovalor: se D=\operatorname{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) então e^{D}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_{1}},e^{\lambda_{2}},e^{\lambda_{3}}).
Portanto o plano é: encontrar autovalores e autovetores de A, diagonalizar A, então calcular D^{8} e e^{D} e voltar à base canônica com P e P^{-1}.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Montamos A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} -1-\lambda & 1 & -1 \\[4pt] -4 & 3-\lambda & -4 \\[4pt] -2 & 1 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão (ou regra de Sarrus/operacional):
Primeiro termo (usando a primeira linha):
(-1-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -4\\[4pt]-2 & -2-\lambda\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & 3-\lambda\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(-2-\lambda)-(-4)\cdot 1 =\lambda^{2}-\lambda-2,
\det\begin{pmatrix}-4 & -4\\[4pt]-2 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(-4)(-2-\lambda)-(-4)(-2)=4\lambda,
\det\begin{pmatrix}-4 & 3-\lambda\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} =(-4)\cdot 1 -(3-\lambda)(-2)=2-2\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(\lambda^{2}-\lambda-2)-4\lambda+(-1)(2-2\lambda).
Simplificando passo a passo:
(-1-\lambda)(\lambda^{2}-\lambda-2)=-(\lambda+1)(\lambda^{2}-\lambda-2)=-(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda+1)=-(\lambda+1)^{2}(\lambda-2),
e
-4\lambda +(-1)(2-2\lambda)=-4\lambda -2 +2\lambda = -2\lambda -2 = -2(\lambda+1).
Juntando:
\det(A-\lambda I)= -(\lambda+1)^{2}(\lambda-2)-2(\lambda+1) = -(\lambda+1)\big((\lambda+1)(\lambda-2)+2\big).
Dentro do parêntese:
(\lambda+1)(\lambda-2)+2=\lambda^{2}-\lambda = \lambda(\lambda-1).
Logo
\det(A-\lambda I)= -(\lambda+1)\lambda(\lambda-1).
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=0,\qquad \lambda_{3}=-1,
todos distintos. Como são três autovalores distintos, A é diagonalizável (autovetores correspondentes são linearmente independentes).]

Passo 4

Encontrar autovetores associados.
  1. Para \lambda=0 resolvemos A v=0. Observação prática: as colunas primeira e terceira de A são idênticas, então qualquer vetor da forma v=(x,0,-x)^{T} anula a combinação linear das colunas; portanto a solução gera um autovetor. Fazendo o cálculo explícito obtém-se o autovetor
v_{0}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}
correspondente a \lambda=0.
  1. Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0. Resolvendo o sistema (fizemos os cálculos) obtemos a família de vetores proporcionais a
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}
correspondente a \lambda=1.
  1. Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0 e obtemos vetores proporcionais a
v_{-1}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
correspondente a \lambda=-1.
Verificação rápida: esses três vetores são linearmente independentes (formam uma base), confirmando a diagonalização.]

Passo 5

Construir P (matriz cujas colunas são os autovetores na mesma ordem das respectivas entradas de D) e D.
Escolhendo a ordem (\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})=(1,0,-1) temos
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Calculei (mostrando os passos de álgebra) a inversa de P e obtive
P^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 2 \end{pmatrix},
que satisfaz P P^{-1}=I (verificação rápida possível multiplicando).]

Passo 6

Calcular A^{8} usando a diagonalização.
Pelo passo 2 e 5:
A^{8}=P D^{8} P^{-1}.
Como D=\operatorname{diag}(1,0,-1), temos
D^{8}=\operatorname{diag}(1^{8},0^{8},(-1)^{8})=\operatorname{diag}(1,0,1).
Logo
A^{8}=P\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}P^{-1}.
Uma forma prática: multiplicar P pela diagonal acima apenas zera a segunda coluna de P e mantém a primeira e terceira. Assim calculamos explicitamente
P\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1} (fazer produto de matrizes) obtemos, após os cálculos:
A^{8}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
(Dica prática: esse resultado é uma projeção sobre a soma dos autoespaços com autovalores 1 e -1, por isso é idempotente: (A^{8})^{2}=A^{8}.)]

Passo 7

Calcular e^{A} usando a diagonalização.
Usamos a mesma decomposição A=PDP^{-1}. Pela propriedade funcional das matrizes:
e^{A}=P e^{D} P^{-1},
onde e^{D}=\operatorname{diag}(e^{1},e^{0},e^{-1})=\operatorname{diag}(e,1,e^{-1}).
Primeiro calculamos P e^{D} escalando as colunas de P:
P e^{D}= \begin{pmatrix} e & 1 & 0\\[4pt] 2e & 0 & e^{-1}\\[4pt] 0 & -1 & e^{-1} \end{pmatrix},
pois a primeira coluna de P foi multiplicada por e, a segunda por 1 e a terceira por e^{-1}.
Agora multiplicamos por P^{-1}. Fazendo as multiplicações linha por coluna (mostrei passos intermédios nos cálculos), obtemos a matriz e^{A} cujas entradas são:
e^{A}= \begin{pmatrix} -e+2 & e-1 & -e+1\\[6pt] -2e+2e^{-1} & 2e-e^{-1} & -2e+2e^{-1}\\[6pt] -2+2e^{-1} & 1-e^{-1} & -1+2e^{-1} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{8}=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -1\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & -1 & 2\end{pmatrix}
e^{A}=\begin{pmatrix} -e+2 & e-1 & -e+1\\[6pt] -2e+2e^{-1} & 2e-e^{-1} & -2e+2e^{-1}\\[6pt] -2+2e^{-1} & 1-e^{-1} & -1+2e^{-1} \end{pmatrix}

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