Não há mais dados externos; a solução usará propriedades algébricas de matrizes (autovalores, autovetores, diagonalização, e a definição de exponencial de matriz).]
Passo 2
Estratégia que vamos usar (ainda sem calcular): se conseguirmos diagonalizar A, ou seja escrever
A = P D P^{-1},
onde D é diagonal com os autovalores de A e as colunas de P são autovetores linearmente independentes, então:
para qualquer inteiro k vale
A^{k} = P D^{k} P^{-1},
porque A^{k} = (PDP^{-1})^{k} = P D^{k} P^{-1};
para a exponencial matricial vale
e^{A} = P e^{D} P^{-1},
onde e^{D} é a diagonal obtida aplicando exponencial a cada autovalor: se D=\operatorname{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) então e^{D}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_{1}},e^{\lambda_{2}},e^{\lambda_{3}}).
Portanto o plano é: encontrar autovalores e autovetores de A, diagonalizar A, então calcular D^{8} e e^{D} e voltar à base canônica com P e P^{-1}.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
todos distintos. Como são três autovalores distintos, A é diagonalizável (autovetores correspondentes são linearmente independentes).]
Passo 4
Encontrar autovetores associados.
Para \lambda=0 resolvemos A v=0. Observação prática: as colunas primeira e terceira de A são idênticas, então qualquer vetor da forma v=(x,0,-x)^{T} anula a combinação linear das colunas; portanto a solução gera um autovetor. Fazendo o cálculo explícito obtém-se o autovetor
(Dica prática: esse resultado é uma projeção sobre a soma dos autoespaços com autovalores 1 e -1, por isso é idempotente: (A^{8})^{2}=A^{8}.)]
Passo 7
Calcular e^{A} usando a diagonalização.
Usamos a mesma decomposição A=PDP^{-1}. Pela propriedade funcional das matrizes:
e^{A}=P e^{D} P^{-1},
onde e^{D}=\operatorname{diag}(e^{1},e^{0},e^{-1})=\operatorname{diag}(e,1,e^{-1}).
Primeiro calculamos P e^{D} escalando as colunas de P:
P e^{D}= \begin{pmatrix} e & 1 & 0\\[4pt] 2e & 0 & e^{-1}\\[4pt] 0 & -1 & e^{-1} \end{pmatrix},
pois a primeira coluna de P foi multiplicada por e, a segunda por 1 e a terceira por e^{-1}.
Agora multiplicamos por P^{-1}. Fazendo as multiplicações linha por coluna (mostrei passos intermédios nos cálculos), obtemos a matriz e^{A} cujas entradas são: