Resolva a solução geral do sistema x^{\prime}=A x e a solução do problema de valori inicial dado.
A=\left(\begin{array}{ccc}-3 / 2 & 1 & 1 / 2 \\\\ -1 / 2 & 1 & 1 / 2 \\\\ 1 / 2 & -1 & 3 / 2\end{array}\right), x(0)=(0,, 1,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar a solução geral do sistema linear de EDOs \;x'=A x\; com
A=\begin{pmatrix} -3/2 & 1 & 1/2\\[4pt] -1/2 & 1 & 1/2\\[4pt] 1/2 & -1 & 3/2 \end{pmatrix}.
  • Encontrar a solução do problema de valor inicial com \;x(0)=(0,1,0)^T.
As informações dadas que vamos usar são: a matriz A acima e o vetor inicial \;x(0)=(0,1,0)^T. A tarefa é escrever a solução geral x(t) (com constantes arbitrárias) e a solução particular que satisfaça o valor inicial.]

Passo 2

Método que vamos usar (sem pular passos): para resolver x'=A x procuramos os autovalores e autovetores de A. A teoria básica (mini-aula):
  • Se A tem três autovalores reais \lambda_i com autovetores v_i linearmente independentes, a solução geral é
x(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}v_1+c_2 e^{\lambda_2 t}v_2+c_3 e^{\lambda_3 t}v_3.
  • Se houver um par de autovalores complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor v=p+i q (onde p,q são vetores reais), então as duas soluções reais associadas são
e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big),\qquad e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big).
Essas duas, juntas com a solução real associada ao terceiro autovalor real, formam uma base de soluções reais quando os autovalores complexos aparecem em par conjugado. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calculando o polinômio característico. A definição: autovalores são raízes de \det(A-\lambda I)=0.
  • O traço de A é \mathrm{tr}(A)=-3/2+1+3/2=1.
  • A soma dos menores principais de ordem 2 é -3/2 (cálculo direto dos determinantes das submatrizes 2×2).
  • O determinante de A é \det(A)=-2 (pode ser verificado expandindo \det(A)).
Pelo teorema para matrizes 3\times3, o polinômio característico é
\lambda^3-(\mathrm{tr}A)\lambda^2+(\text{soma dos menores principais})\lambda-\det(A)=0,
ou seja
\lambda^3-\lambda^2-\tfrac{3}{2}\lambda+2=0.
Multiplicando por 2 para evitar frações, obtemos
2\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda+4=0.

Passo 4

Encontrando as raízes (autovalores). Esse polinômio não tem raízes racionais simples, então buscamos as raízes numericamente (isto é comum em provas onde a fatoração exata não aparece).
  • Aplicando um método numérico (ou calculadora algébrica), obtemos as três raízes:
\lambda_1\approx -1{,}30901699,\qquad \lambda_{2,3}\approx 1{,}154508495\pm 0{,}441941741\,i.
Observação didática: o autovalor \lambda_1 é real e os outros dois formam um par complexo conjugado \alpha\pm i\beta com \alpha\approx1{,}154508495 e \beta\approx0{,}441941741. Assim, a solução geral real terá uma componente e^{\lambda_1 t}v^{(1)} e duas componentes reais oscilatórias e^{\alpha t}(\cdots\cos\beta t\pm\cdots\sin\beta t).

Passo 5

Autovetor correspondente ao autovalor real \lambda_1.
  • Resolve-se (A-\lambda_1 I)v=0. Fazendo a resolução numérica obtemos um autovetor real associado (pode ser escalado arbitrariamente). Uma escolha conveniente (escalada para ficar com primeira componente 1) é
v^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix}.
Explicação: qualquer múltiplo de v^{(1)} é também autovetor; escolhi essa escala para facilitar contas posteriores.]

Passo 6

Autovetor complexo (para \lambda_2=\alpha+i\beta).
  • Resolve-se (A-(\alpha+i\beta)I)w=0 para w\in\mathbb{C}^3. Escrevendo w=p+i q com p,q\in\mathbb{R}^3, obtemos (numericamente) as partes real e imaginária:
p\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix},\qquad q\approx\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix}.
Esses vetores p,q satisfazem w=p+i q autovetor complexo; a forma real das soluções associadas ao par complexo será construída a partir de p e q.]

Passo 7

Construindo a base real de soluções e escrevendo a solução geral.
  • Pela teoria (ver Passo 2), as três soluções fundamentais reais são:
e^{\lambda_1 t}v^{(1)},
e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big), \qquad e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big).
  • Assim a solução geral real do sistema é, com constantes reais C_1,C_2,C_3,
x(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}v^{(1)} \;+\;e^{\alpha t}\Big(C_2\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big)+C_3\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big)\Big).
Substituindo os valores numéricos encontrados:
\begin{aligned} \lambda_1&\approx-1{,}30901699,\\\ \alpha&\approx1{,}154508495,\quad \beta\approx0{,}441941741,\\\ v^{(1)}&\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix},\quad p\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix},\quad q\approx\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix}. \end{aligned}
Portanto, explicitamente,
\begin{aligned} x(t)=\; &C_1 e^{-1{,}30901699\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix}\\[4pt] &+e^{1{,}154508495\,t}\Bigg\{C_2\Big(\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix}\cos(0{,}441941741\,t) -\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix}\sin(0{,}441941741\,t)\Big)\\[6pt] &\qquad\qquad +C_3\Big(\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix}\sin(0{,}441941741\,t) +\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix}\cos(0{,}441941741\,t)\Big)\Bigg\}. \end{aligned}
Isto dá a solução geral real do sistema. Atenção: todos os números foram arredondados; em prova se for pedido um procedimento, é aceitável deixar a solução em termos de \lambda_j, v^{(j)}, p e q.]

Passo 8

Agora impondo o valor inicial \;x(0)=(0,1,0)^T para determinar C_1,C_2,C_3.
  • Em t=0 as funções trigonométricas valem \cos0=1, \sin0=0. Assim
x(0)=C_1 v^{(1)} + C_2 p + C_3 q = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Esse é um sistema linear 3\times3 para C_1,C_2,C_3. Resolvendo numericamente com os vetores escolhidos acima obtemos
C_1\approx-0{,}528338,\qquad C_2\approx0{,}528338,\qquad C_3\approx-0{,}683591.
(Detalhe de cálculo: escrevendo as três equações e resolvendo por eliminação direta ou por inversão numérica da matriz formada por colunas v^{(1)},p,q.)]

Passo 9

Escrevendo a solução particular (com constantes já fixos). Substituindo C_1,C_2,C_3 na expressão do Passo 7, obtemos a solução que satisfaz x(0)=(0,1,0)^T:
\begin{aligned} x(t)=\;&(-0{,}528338)\,e^{-1{,}30901699\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix}\\[6pt] &+e^{1{,}154508495\,t}\Bigg\{(0{,}528338)\Big(p\cos(0{,}441941741\,t)-q\sin(0{,}441941741\,t)\Big)\\[4pt] &\qquad\qquad +(-0{,}683591)\Big(p\sin(0{,}441941741\,t)+q\cos(0{,}441941741\,t)\Big)\Bigg\}, \end{aligned}
onde p e q são os vetores dados no Passo 6.]

Resposta

Solução geral:
\begin{aligned} x(t)=\; &C_1 e^{-1{,}30901699\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix} +e^{1{,}154508495\,t}\Bigg\{C_2\Big(p\cos(0{,}441941741\,t)-q\sin(0{,}441941741\,t)\Big)\\[4pt] &\qquad\qquad +C_3\Big(p\sin(0{,}441941741\,t)+q\cos(0{,}441941741\,t)\Big)\Bigg\}, \end{aligned}
com p\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix}, q\approx\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix} e constantes reais C_1,C_2,C_3.
Solução para x(0)=(0,1,0)^T:
\begin{aligned} x(t)=\;&(-0{,}528338)\,e^{-1{,}30901699\,t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}236437545\\[4pt]-0{,}0909090909\end{pmatrix}\\[6pt] &+e^{1{,}154508495\,t}\Bigg\{(0{,}528338)\Big(p\cos(0{,}441941741\,t)-q\sin(0{,}441941741\,t)\Big)\\[4pt] &\qquad\qquad +(-0{,}683591)\Big(p\sin(0{,}441941741\,t)+q\cos(0{,}441941741\,t)\Big)\Bigg\}, \end{aligned}
com p e q dados acima (todos os números estão arredondados; a solução exata é dada em termos das raízes do polinômio \lambda^3-\lambda^2-\tfrac32\lambda+2=0 e seus autovetores).]

Exercícios relacionados