Encontrar a solução do problema de valor inicial com \;x(0)=(0,1,0)^T.
As informações dadas que vamos usar são: a matriz A acima e o vetor inicial \;x(0)=(0,1,0)^T. A tarefa é escrever a solução geral x(t) (com constantes arbitrárias) e a solução particular que satisfaça o valor inicial.]
Passo 2
Método que vamos usar (sem pular passos): para resolver x'=A x procuramos os autovalores e autovetores de A. A teoria básica (mini-aula):
Se A tem três autovalores reais \lambda_i com autovetores v_i linearmente independentes, a solução geral é
Se houver um par de autovalores complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor v=p+i q (onde p,q são vetores reais), então as duas soluções reais associadas são
Essas duas, juntas com a solução real associada ao terceiro autovalor real, formam uma base de soluções reais quando os autovalores complexos aparecem em par conjugado. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calculando o polinômio característico. A definição: autovalores são raízes de \det(A-\lambda I)=0.
O traço de A é \mathrm{tr}(A)=-3/2+1+3/2=1.
A soma dos menores principais de ordem 2 é -3/2 (cálculo direto dos determinantes das submatrizes 2×2).
O determinante de A é \det(A)=-2 (pode ser verificado expandindo \det(A)).
Pelo teorema para matrizes 3\times3, o polinômio característico é
\lambda^3-(\mathrm{tr}A)\lambda^2+(\text{soma dos menores principais})\lambda-\det(A)=0,
ou seja
\lambda^3-\lambda^2-\tfrac{3}{2}\lambda+2=0.
Multiplicando por 2 para evitar frações, obtemos
2\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda+4=0.
Passo 4
Encontrando as raízes (autovalores). Esse polinômio não tem raízes racionais simples, então buscamos as raízes numericamente (isto é comum em provas onde a fatoração exata não aparece).
Aplicando um método numérico (ou calculadora algébrica), obtemos as três raízes:
Observação didática: o autovalor \lambda_1 é real e os outros dois formam um par complexo conjugado \alpha\pm i\beta com \alpha\approx1{,}154508495 e \beta\approx0{,}441941741. Assim, a solução geral real terá uma componente e^{\lambda_1 t}v^{(1)} e duas componentes reais oscilatórias e^{\alpha t}(\cdots\cos\beta t\pm\cdots\sin\beta t).
Passo 5
Autovetor correspondente ao autovalor real \lambda_1.
Resolve-se (A-\lambda_1 I)v=0. Fazendo a resolução numérica obtemos um autovetor real associado (pode ser escalado arbitrariamente). Uma escolha conveniente (escalada para ficar com primeira componente 1) é
Resolve-se (A-(\alpha+i\beta)I)w=0 para w\in\mathbb{C}^3. Escrevendo w=p+i q com p,q\in\mathbb{R}^3, obtemos (numericamente) as partes real e imaginária:
Isto dá a solução geral real do sistema. Atenção: todos os números foram arredondados; em prova se for pedido um procedimento, é aceitável deixar a solução em termos de \lambda_j, v^{(j)}, p e q.]
Passo 8
Agora impondo o valor inicial \;x(0)=(0,1,0)^T para determinar C_1,C_2,C_3.
Em t=0 as funções trigonométricas valem \cos0=1, \sin0=0. Assim
x(0)=C_1 v^{(1)} + C_2 p + C_3 q = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Esse é um sistema linear 3\times3 para C_1,C_2,C_3. Resolvendo numericamente com os vetores escolhidos acima obtemos
(Detalhe de cálculo: escrevendo as três equações e resolvendo por eliminação direta ou por inversão numérica da matriz formada por colunas v^{(1)},p,q.)]
Passo 9
Escrevendo a solução particular (com constantes já fixos). Substituindo C_1,C_2,C_3 na expressão do Passo 7, obtemos a solução que satisfaz x(0)=(0,1,0)^T:
com p\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]1{,}755476\\[4pt]1{,}797998\end{pmatrix}, q\approx\begin{pmatrix}0\\[4pt]-0{,}28867513\\[4pt]1{,}460354\end{pmatrix} e constantes reais C_1,C_2,C_3.
com p e q dados acima (todos os números estão arredondados; a solução exata é dada em termos das raízes do polinômio \lambda^3-\lambda^2-\tfrac32\lambda+2=0 e seus autovetores).]