Resolva a solução geral do sistema x^{\prime}=A x e a solução do problema de valori inicial dado. A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 2 \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -2 & -1 & 3\end{array}\right), x(0)=(1,0,1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar a solução geral do sistema diferencial linear de primeira ordem \,x'(t)=A x(t)\,.
Resolver o problema de valor inicial com \,x(0)=(1,0,1)\,.
Escolha do método e ideia principal (resumida): para um sistema linear com matriz constante A, procuramos autovalores e autovetores de A. Se A tiver um conjunto de três autovetores linearmente independentes (ou seja, for diagonalizável), a solução geral é combinação linear de vetores exponenciais e^{\lambda t}v, onde \lambda é autovalor e v autovetor. Vou calcular o polinômio característico para obter os autovalores.
O polinômio característico é \det(A-\lambda I). Montamos
Dividindo a primeira por -2\]: \(x+y-z=0\Rightarrow x=z-y.
Da terceira: multiplicando por -1 dá 2x+y-2z=0.
Subtraindo essa terceira da segunda: (2x+3y-2z)-(2x+y-2z)=2y=0\Rightarrow y=0.
Com y=0 e x=z-y temos x=z. Assim os vetores solução têm forma (z,0,z)=z(1,0,1).
Escolho o autovetor correspondente
Da segunda linha, dividindo por 2\]: \(x+y-z=0\Rightarrow x=z-y.
Da terceira: -2x-y+z=0\Rightarrow 2x+y-z=0. Subtraindo a terceira da segunda (ou comparar), obtém-se x=0. Com x=0 segue y=z. Assim os autovetores têm forma (0,y,y)=y(0,1,1).
Escolho
Da terceira equação: -2x-y=0\Rightarrow y=-2x\]. Substituindo em qualquer outra, por exemplo na segunda: \(2x+(-2x)-2z=0\Rightarrow -2z=0\Rightarrow z=0. Portanto vetores da forma (x,-2x,0)=x(1,-2,0).
Da terceira equação c_1=1-c_2\]. Substituindo na primeira:
\[(1-c_2)+c_3=1\Rightarrow -c_2+c_3=0\Rightarrow c_3=c_2.\]
Substituindo em \(c_2-2c_3=0 dá c_2-2c_2= -c_2=0\Rightarrow c_2=0. Assim c_3=0 e c_1=1.]
Passo 9
Com as constantes encontradas a solução que satisfaz x(0)=(1,0,1) é simplesmente o modo associado a \lambda=1: