Exercício 4) Determinar as equações paramétricas das retas interseções dos seguintes planos:
x+y=0 e y+z=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • São dados dois planos cujas equações são
x+y=0
y+z=0
  • O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da(s) reta(s) interseção desses planos.

Passo 2

Entender o sistema que define a interseção: qualquer ponto (x,y,z) da reta de interseção deve satisfazer simultaneamente as duas equações. Escrevendo o sistema:
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo, isolando variáveis de maneira simples.
Da primeira equação:
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y.
Da segunda equação:
y+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-y.
Portanto as duas equações juntas dão
x=-y,\qquad z=-y.]

Passo 3

Introduzir um parâmetro para descrever a família infinita de soluções (uma reta tem uma liberdade — um parâmetro).
Escolho o parâmetro t para representar o valor de y:
y=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Substituindo nas expressões anteriores:
x=-y=-t,\qquad z=-y=-t.
Logo as equações paramétricas são
x=-t,\qquad y=t,\qquad z=-t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação prática: quando t varia por todos os reais obtemos todos os pontos da reta. Para t=0 temos o ponto (0,0,0) (a reta passa pela origem). O vetor diretor da reta é
\mathbf{d}=(-1,1,-1),
pois conforme t aumenta em 1, o ponto se desloca em (-1,1,-1).

Passo 4

Uma verificação alternativa (útil na prova): obter o vetor diretor como produto vetorial dos normais dos planos.
  • Normal do plano x+y=0 é \mathbf{n}_1=(1,1,0).
  • Normal do plano y+z=0 é \mathbf{n}_2=(0,1,1).
O vetor diretor pode ser \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1,-1,1).
Esse vetor (1,-1,1) é paralelo a (-1,1,-1) (apenas muda o sentido), então confirma que a direção encontrada está correta.
Dica rápida para a prova: ao resolver dois planos, isole duas variáveis em função da terceira (ou escolha a variável livre) — isso é direto e rápido.]

Resposta

x=-t,\; y=t,\; z=-t,\; t\in\mathbb{R}
(x,y,z)=t(-1,1,-1),\; t\in\mathbb{R}

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