Exercício 4) Determinar as equações paramétricas das retas interseções dos seguintes planos: x+y=0 e y+z=0.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
São dados dois planos cujas equações são
x+y=0
y+z=0
O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da(s) reta(s) interseção desses planos.
Passo 2
Entender o sistema que define a interseção: qualquer ponto (x,y,z) da reta de interseção deve satisfazer simultaneamente as duas equações. Escrevendo o sistema:
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema passo a passo, isolando variáveis de maneira simples.
Da primeira equação:
x+y=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y.
Da segunda equação:
y+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-y.
Portanto as duas equações juntas dão
x=-y,\qquad z=-y.]
Passo 3
Introduzir um parâmetro para descrever a família infinita de soluções (uma reta tem uma liberdade — um parâmetro).
Escolho o parâmetro t para representar o valor de y:
Interpretação prática: quando t varia por todos os reais obtemos todos os pontos da reta. Para t=0 temos o ponto (0,0,0) (a reta passa pela origem). O vetor diretor da reta é
\mathbf{d}=(-1,1,-1),
pois conforme t aumenta em 1, o ponto se desloca em (-1,1,-1).
Passo 4
Uma verificação alternativa (útil na prova): obter o vetor diretor como produto vetorial dos normais dos planos.
Normal do plano x+y=0 é \mathbf{n}_1=(1,1,0).
Normal do plano y+z=0 é \mathbf{n}_2=(0,1,1).
O vetor diretor pode ser \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculando o produto vetorial: