Considere a matriz
A=[cc 1 & 2 3 & -1 ]
(a) Encontre a sua matriz inversa A^-1 usando o método de escalomento (operações nas linhas).
(b) Escreva a matriz A^-1 como um produto de matrizes elementares.
(c) Escreva a matriz A como um produto de matrizes elementares (tomando as inversas das matrizes elementares do caso anterior).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=1 & 2 3 & -1
e pede: (a) A^-1 por escalonamento, (b) escrever A^-1 como produto de matrizes elementares, (c) escrever A como produto dessas matrizes elementares inversas. O conteúdo é inversão de matrizes via Gauss–Jordan e representação por matrizes elementares.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (Amid I):
[cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 3 & -1 & 0 & 1 ]
Aplicamos R2 R2-3R1:
[cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 0 & -7 & -3 & 1 ]
Em seguida R2 -tfrac17R2:
[cc|cc 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac37 & -tfrac17 ]
Por fim R1 R1-2R2:
[cc|cc 1 & 0 & tfrac17 & tfrac27 0 & 1 & tfrac37 & -tfrac17 ]
Daqui obtemos
A^-1=tfrac17 & tfrac27[6pt]tfrac37 & -tfrac17 ]

Passo 3

Cada operação de linha corresponde a uma matriz elementar que multiplica à esquerda:
1. E1 para R2 R2-3R1:
E1=1 & 0-3 & 1
2. E2 para R2 -tfrac17R2:
E2=1 & 00 & -tfrac17
3. E3 para R1 R1-2R2:
E3=1 & -20 & 1
Como E3E2E1A=I, segue
A^-1=E3,E2,E1

Passo 4

Para escrever A como produto de matrizes elementares, invertemos cada Ei:
E1^-1=1 & 03 & 1, E2^-1=1 & 00 & -7, E3^-1=1 & 20 & 1
Como A=(E3E2E1)^-1=E1^-1E2^-1E3^-1, temos a fatoração desejada.

Resposta

(a)
A^-1=tfrac17 & tfrac27[4pt]tfrac37 & -tfrac17
(b)
A^-1 =E3,E2,E1 =1 & -20 & 1 1 & 00 & -tfrac17 1 & 0-3 & 1
(c)
A =E1^-1,E2^-1,E3^-1 =1 & 03 & 1 1 & 00 & -7 1 & 20 & 1 ]

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