Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a) Se
e
são matrizes quadradas satisfazendo
, então
.
(b) Se
é uma matriz quadrada tal que
para todo
, então
.
(c) Toda matriz elementar é invertível.
(a) Se
(b) Se
(c) Toda matriz elementar é invertível.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações envolvendo matrizes quadradas e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo usado aqui é álgebra matricial: propriedades de multiplicação (não comutatividade), matrizes nilpotentes e definição de matriz elementar e sua invertibilidade.
Passo 2
Analisando (a): “Se
e
são matrizes quadradas satisfazendo
, então
.” Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, então não devemos esperar
. Damos um contra-exemplo em
:
Calculamos
porém
Logo a afirmação é falsa.]
Passo 3
Analisando (b): “Se
é uma matriz quadrada tal que
para todo
, então
.” Note que basta
para garantir
para todo
, e existem matrizes nilpotentes de índice
não-nulas (como a
do passo anterior). Por exemplo,
satisfaz
mas claramente
. Portanto a afirmação é falsa.]
Passo 4
Analisando (c): “Toda matriz elementar é invertível.” Matriz elementar é aquela obtida a partir da matriz identidade por uma operação elementar (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou somar múltiplo de uma linha a outra). Cada operação elementar tem operação inversa (por ex. trocar linhas novamente, multiplicar pela recíproca, subtrair o mesmo múltiplo), e essa inversa corresponde a outra matriz elementar. Logo toda matriz elementar tem inversa, isto é, é invertível. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falso.
(b) Falso.
(c) Verdadeiro.
(b) Falso.
(c) Verdadeiro.