Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a) Se A e B são matrizes quadradas satisfazendo A B=0, então B A=0.
(b) Se A é uma matriz quadrada tal que A^n=0 para todo n >= 2, então A=0.
(c) Toda matriz elementar é invertível.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações envolvendo matrizes quadradas e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo usado aqui é álgebra matricial: propriedades de multiplicação (não comutatividade), matrizes nilpotentes e definição de matriz elementar e sua invertibilidade.

Passo 2

Analisando (a): “Se A e B são matrizes quadradas satisfazendo AB=0, então BA=0.” Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, então não devemos esperar BA=AB. Damos um contra-exemplo em 2times2:
A = 0 & 1[6pt]0 & 0,
B = 1 & 0[6pt]0 & 0
Calculamos
AB = 0 & 10 & 01 & 00 & 0 = 0 & 00 & 0,
porém
BA = 1 & 00 & 00 & 10 & 0 = 0 & 10 & 0neq 0
Logo a afirmação é falsa.]

Passo 3

Analisando (b): “Se A é uma matriz quadrada tal que A^n=0 para todo n >= 2, então A=0.” Note que basta A^2=0 para garantir A^n=0 para todo n>=2, e existem matrizes nilpotentes de índice 2 não-nulas (como a A do passo anterior). Por exemplo,
A = 0 & 1[4pt]0 & 0
satisfaz A^2=0 mas claramente Aneq0. Portanto a afirmação é falsa.]

Passo 4

Analisando (c): “Toda matriz elementar é invertível.” Matriz elementar é aquela obtida a partir da matriz identidade por uma operação elementar (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou somar múltiplo de uma linha a outra). Cada operação elementar tem operação inversa (por ex. trocar linhas novamente, multiplicar pela recíproca, subtrair o mesmo múltiplo), e essa inversa corresponde a outra matriz elementar. Logo toda matriz elementar tem inversa, isto é, é invertível. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falso.
(b) Falso.
(c) Verdadeiro.

Exercícios relacionados