Considere um sistema linear homogêneo com 3 equações e 3 variáveis. Como por exemplo no item ( h ) do Exercício 1. Seja A a matriz 3 times 3 formada pelos coeficientes. Mostre que o sistema possui a solução nula (x, y, z)=(0,0,0) como única solução se e somente se A é uma matriz invertível.
Dica: vimos em aula que A é invertível se, e somente se, pode ser transformada na matriz identidade (com o processo de operações nas linhas). No caso em que A não é invertível, será transformada em uma matriz com pelo menos uma linha nula.
Observação: É claro que o mesmo resultado vale para um sistema homogêneo com n equações e n variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que num sistema homogêneo de equações e incógnitas,
a única solução ser é equivalente a ser invertível.
Conteúdo: matrizes invertíveis, operações elementares sobre linhas e solução de sistemas homogêneos.

Passo 2

Suponha que seja invertível. Por definição, existem matrizes elementares tais que
Aplicando as mesmas operações ao sistema homogêneo, obtemos
Mas implica imediatamente . Logo, o sistema só admite a solução trivial.

Passo 3

Agora suponha que A não seja invertível. Ao aplicar redução por linhas, chega-se a uma forma escalonada com pelo menos uma linha completamente nula, por exemplo
* & * & * 0 & * & * 0 & 0 & 0
Essa última linha gera a equação 0=0, ou seja, sobra uma variável livre. Com isso o sistema tem infinitas soluções, incluindo soluções não-triviais. Em particular, a trivial não é única.

Passo 4

Recapitulando:
  • Se A é invertível então, por redução, o sistema reduz-se a I3(x,y,z)^T=0, dando só a solução trivial.
  • Se A não é invertível então aparece uma linha nula na forma escalonada e surgem soluções não-triviais.
Portanto, o sistema homogêneo tem única solução trivial se, e somente se, A é invertível.

Resposta

O sistema homogêneo A(x,y,z)^T=0 admite apenas a solução (0,0,0) exatamente quando A é invertível.

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