Considere a matriz
A=[ccc 1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2 ]
(a) Como no exercício anterior, utilize o método de operações nas linhas para mostrar que A é invertível e encontre sua inversa A^-1.
(b) Determine as matrizes elementares em cada passo do processo acima e escreva A^-1 como produto de matrizes elementares.
(c) Escreva A como produto de matrizes elementares.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) mostrar que a matriz
A = 1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2
é invertível via operações elementares de linha (Gauss–Jordan) e encontrar A^-1.
  • (b) escrever, para cada operação usada, a matriz elementar correspondente e, em seguida, exprimir A^-1 como produto dessas matrizes elementares.
  • (c) exprimir A como produto de matrizes elementares (isto é, como produto dos inversos dessas matrizes elementares).
Conteúdo principal: Gauss–Jordan para inversão e descrição de matrizes elementares.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid Ir] e aplicamos a eliminação abaixo da diagonal principal:
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 2 & -2 & -2 & 0 & 1 & 0 -3 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ]
faremos
R2 R2 - 2,R1, R3 R3 + 3,R1,
que levam a
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & -4& 3 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora normalizamos as linhas 2 e 3 para obter pivôs iguais a 1:
R2 -tfrac12,R2, R3 -tfrac14,R3,
ficando
[ccc|ccc 1 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac34 & 0 & -tfrac14 ]

Passo 4

Eliminamos acima dos pivôs na coluna 3 para chegar à forma reduzida:
R2 R2 + R3, R1 R1 + 2,R3,
resultado final
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -tfrac12 & 0 & -tfrac12 0 & 1 & 0 & tfrac14 & -tfrac12 & -tfrac14 0 & 0 & 1 & -tfrac34 & 0 & -tfrac14 ]

Passo 5

Como a parte esquerda ficou a identidade, A é invertível e a parte direita é exatamente A^-1:
A^-1 = -tfrac12 & 0 & -tfrac12[6pt] tfrac14 & -tfrac12 & -tfrac14[6pt] -tfrac34 & 0 & -tfrac14 ]

Passo 6

Cada uma das seis operações de linha corresponde a uma matriz elementar Ei tal que Ei multiplica o resultado anterior e reproduz a operação. São elas:
E1 = 1&0&0-2&1&00&0&1, E2 = 1&0&00&1&03&0&1,
E3 = 1&0&00&-tfrac12&00&0&1, E4 = 1&0&00&1&00&0&-tfrac14,
E5 = 1&0&00&1&10&0&1, E6 = 1&0&20&1&00&0&1
A composição dessas operações satisfaz
E6,E5,E4,E3,E2,E1,A = I,
logo
A^-1 = E6,E5,E4,E3,E2,E1

Passo 7

Como cada Ei é invertível, podemos escrever
A = l(E6,E5,E4,E3,E2,E1r)^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1,E4^-1,E5^-1,E6^-1
Em particular,
E1^-1=1&0&02&1&00&0&1,; E2^-1=1&0&00&1&0-3&0&1,; E3^-1=1&0&00&-2&00&0&1,
E4^-1=1&0&00&1&00&0&-4,; E5^-1=1&0&00&1&-10&0&1,; E6^-1=1&0&-20&1&00&0&1

Resposta

(a)
A é invertível e
A^-1 = -tfrac12 & 0 & -tfrac12[6pt] tfrac14 & -tfrac12 & -tfrac14[6pt] -tfrac34 & 0 & -tfrac14
(b)
As matrizes elementares usadas foram
E1=1&0&0-2&1&00&0&1,; E2=1&0&00&1&03&0&1,; E3=1&0&00&-tfrac12&00&0&1,
E4=1&0&00&1&00&0&-tfrac14,; E5=1&0&00&1&10&0&1,; E6=1&0&20&1&00&0&1,
e obtemos
A^-1 = E6,E5,E4,E3,E2,E1
(c)
Invertendo cada Ei, escrevemos
A = E1^-1,E2^-1,E3^-1,E4^-1,E5^-1,E6^-1,
com
E1^-1=1&0&02&1&00&0&1,; E2^-1=1&0&00&1&0-3&0&1,; E3^-1=1&0&00&-2&00&0&1,
E4^-1=1&0&00&1&00&0&-4,; E5^-1=1&0&00&1&-10&0&1,; E6^-1=1&0&-20&1&00&0&1 ]

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