Seja J4(lambda0) um bloco de Jordan de ordem 4 , isto é,
J4(lambda0)=[cccc lambda0 & 1 & 0 & 0 0 & lambda0 & 1 & 0 0 & 0 & lambda0 & 1 0 & 0 & 0 & lambda0 ]
Mostre que o polinômio característico De<a(lambda)=(lambda-lambda0)^4. De maneira geral, pode-se mostrar que o polinômio característico de um bloco de Jordan de ordem k é De<a(lambda)=(lambda-lambda0)^k

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de um bloco de Jordan de ordem 4, isto é, encontrar
De<a(lambda)=detl(lambda I - J4(lambda0)r).
O conteúdo principal aqui é usar que uma matriz triangular tem determinante igual ao produto de seus elementos diagonais.

Passo 2

Escrevemos a matriz lambda I - J4(lambda0). Como
J4(lambda0) = lambda0 & 1 & 0 & 0 0 & lambda0 & 1 & 0 0 & 0 & lambda0 & 1 0 & 0 & 0 & lambda0 ,
temos
lambda I - J4(lambda0) = lambda-lambda0 & -1 & 0 & 0 0 & lambda-lambda0 & -1 & 0 0 & 0 & lambda-lambda0 & -1 0 & 0 & 0 & lambda-lambda0 ,
que é triangular superior.

Passo 3

Para qualquer matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui todos os quatro elementos diagonais são lambda-lambda0. Logo,
De<a(lambda) =detl(lambda I - J4(lambda0)r) =(lambda-lambda0)cdot(lambda-lambda0)cdot(lambda-lambda0)cdot(lambda-lambda0) =(lambda-lambda0)^4

Passo 4

De modo geral, se Jk(lambda0) é um bloco de Jordan de ordem k, então lambda I - Jk(lambda0) é triangular superior com k entradas lambda-lambda0 na diagonal, e assim
detl(lambda I - Jk(lambda0)r)=(lambda-lambda0)^k

Resposta

De<a(lambda)=(lambda-lambda0)^4

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