Seja B=e1, e2, e3 uma base de V^3. Considere os vetores f1=2 e1-e3, f2=e2+2 e3 e f3=7 e3.
(a) Mostre que C=f1, f2, f3 é base.
(b) Determine a matriz mudança da base B para a base C.
(c) Sendo w=J1+J2-17 J3, determine as coordenadas de u nas base B e C.
(d) Calcule m para que (2.12 m, 0) B in(1,1, -17) C sejam LD.

Passo 1

O enunciado dá a base canônica
;B=vec e1,vec e2,vec e3
e define
vec f1=2vec e1-vec e3, vec f2=vec e2+2vec e3, vec f3=7vec e3,
querendo (a) mostrar que
C=vec f1,vec f2,vec f3 é base,
(b) encontrar a matriz de mudança de base de B para C,
(c) achar as coordenadas de vec w=vec J1+vec J2-tfrac17vec J3 em B e em C,
(d) determinar m para que (2,12m,0)B e (1,1,-tfrac17)C sejam LD.

Passo 2

Para (a) formamos em relação a B a matriz cujas colunas são as coordenadas de vec fi:
P= 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 7
Como
det P = 2cdot1cdot7 = 14 neq 0,
os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são LI e, sendo três vetores em V^3, formam base.

Passo 3

Para (b) queremos a matriz Q que leva coordenadas em B para coordenadas em C, isto é
[vec v]C ;=;Q,[vec v]B
Como [vec v]B = P,[vec v]C, segue Q=P^-1. Invertendo P obtém-se
Q =;P^-1 = tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac114 & -tfrac27 & tfrac17

Passo 4

Para (c), em B as coordenadas de
vec w=vec J1+vec J2-tfrac17vec J3 são lidas direto:
[vec w]B =11-tfrac17
Em C usamos
[vec w]C =Q,[vec w]B = tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac114 & -tfrac27 & tfrac17 11-tfrac17 =tfrac121-tfrac2398

Passo 5

Para (d), o vetor dado em B é
vec v=(2,12m,0)B,
e o vetor cuja forma em C é (1,1,-tfrac17)C tem, em B, as coordenadas
vec u =1cdotvec f1+1cdotvec f2-tfrac17,vec f3 =(2,1,0)B
Em R^3 dois vetores são LD se um é múltiplo escalar do outro. Então existe lambda tal que
(2,12m,0)=lambda,(2,1,0)
Das primeiras componentes vem lambda=1. Da segunda:
12m = 1;Rightarrow;m=tfrac112

Resposta

(a) det P=14neq0, logo C é base.
(b) A matriz de mudança de B para C é
Q= tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 tfrac114 & -tfrac27 & tfrac17
(c)
[vec w]B=(1,1,-tfrac17),
[vec w]C=(tfrac12,1,-tfrac2398).
(d) m=tfrac112

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