Seja uma base de V^3. Considere os vetores f1=2 e1-e3, f2=e2+2 e3 e f3=7 e3.
(a) Mostre que C=f1, f2, f3 é base.
(b) Determine a matriz mudança da base B para a base C.
(c) Sendo w=J1+J2-17 J3, determine as coordenadas de u nas base B e C.
(d) Calcule m para que (2.12 m, 0) B in(1,1, -17) C sejam LD.
Passo 1
O enunciado dá a base canônica ;B=vec e1,vec e2,vec e3
e define
querendo (a) mostrar que C=vec f1,vec f2,vec f3 é base,
(b) encontrar a matriz de mudança de base de B para C,
(c) achar as coordenadas de vec w=vec J1+vec J2-tfrac17vec J3 em B e em C,
(d) determinar m para que (2,12m,0)B e (1,1,-tfrac17)C sejam LD.
Passo 2
Para (a) formamos em relação a B a matriz cujas colunas são as coordenadas de vec fi:
P= 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 7
Como
det P = 2cdot1cdot7 = 14 neq 0,
os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são LI e, sendo três vetores em V^3, formam base.
Passo 3
Para (b) queremos a matriz Q que leva coordenadas em B para coordenadas em C, isto é
[vec v]C ;=;Q,[vec v]B
Como [vec v]B = P,[vec v]C, segue Q=P^-1. Invertendo P obtém-se