Sejam as matrizes de transformações elementares
e
tais que
. Mostre que:
a)
(toda matriz não singular pode ser expressa como produto de matrizes elementares).
b) Se
,
e
, encontre os valores de
e
para que a relação definida em (a) seja verdadeira.
a)
b) Se
Passo 1
Temos matrizes elementares P e Q tais que
. O conteúdo aqui é inversão de matrizes e o fato de que toda matriz não singular pode ser escrita como produto de matrizes elementares. No item (a) vamos mostrar a fórmula geral para
, e no item (b) vamos usar essa ideia para encontrar
e
.
Passo 2
Como P e Q são invertíveis (todas as matrizes elementares têm inversa), começamos de
Multiplicando à esquerda por
obtemos
Em seguida multiplicando à direita por
vem
Isso mostra a parte (a).
Passo 3
Para o caso específico, primeiro calculamos
. Seja
Então
Agora multiplicamos por
e obtemos
Passo 4
Queremos que
. Isso dá o sistema:
-
-
Verificando a entrada (2,2): como, resta
que confere. Portanto esses valores satisfazem
.
Resposta
a = 3/2, b = -2/7