Sejam as matrizes de transformações elementares P e Q tais que P A Q=I. Mostre que:
a) A=P^-1 Q^-1 (toda matriz não singular pode ser expressa como produto de matrizes elementares).
b) Se cc2 & 4 -3 & 1, cc1 / 2 & 0 a & 1 e cc1 & b 0 & 1 / 7, encontre os valores de a e b para que a relação definida em (a) seja verdadeira.

Passo 1

Temos matrizes elementares P e Q tais que P A Q = I. O conteúdo aqui é inversão de matrizes e o fato de que toda matriz não singular pode ser escrita como produto de matrizes elementares. No item (a) vamos mostrar a fórmula geral para A, e no item (b) vamos usar essa ideia para encontrar a e b.

Passo 2

Como P e Q são invertíveis (todas as matrizes elementares têm inversa), começamos de
P A Q = I
Multiplicando à esquerda por P^-1 obtemos
P^-1(P A Q) = P^-1I implies A Q = P^-1
Em seguida multiplicando à direita por Q^-1 vem
(A Q)Q^-1 = P^-1Q^-1 implies A = P^-1Q^-1
Isso mostra a parte (a).

Passo 3

Para o caso específico, primeiro calculamos P A. Seja
P = 1/2 & 0 a & 1, A = 2 & 4 -3 & 1
Então
P A = 1/2 & 0 a & 12 & 4 -3 & 1 = 1 & 2 2a - 3 & 4a + 1
Agora multiplicamos por
Q = 1 & b 0 & 1/7
e obtemos
P A Q = 1 & 2 2a - 3 & 4a + 11 & b 0 & 1/7 = 1 & b + 2/7 2a - 3 & b(2a - 3) + 4a +17

Passo 4

Queremos que P A Q = I = 1 & 0 0 & 1. Isso dá o sistema:
  1. b + 2/7 = 0 implies b = -2/7
  2. 2a - 3 = 0 implies a = 3/2
    Verificando a entrada (2,2): como 2a -3 = 0, resta
b(2a - 3) + 4a+17 = 4(3/2)+17 = 77 = 1
que confere. Portanto esses valores satisfazem P A Q = I.

Resposta

a = 3/2, b = -2/7

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