Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=3 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=3, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -6
(B) -3
(C) 0
(D) 3
(E) 6
(F) 9
(G) 12
(H) 15
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A cujas colunas são \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3} e diz que \det(A)=3. Dá também vetores \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} definidos em função das \vec{a}_{i} assim:
A matriz B tem colunas \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}. A pergunta é: qual é o valor de \det(B)? (Fornecem várias alternativas numéricas.)
Passo 2
Entendimento importante que vamos usar: quando as colunas de uma matriz B são combinações lineares das colunas de A, existe uma matriz C que fornece essas combinações por multiplicação à direita:
B = A\,C.
Explico bem: se a j-ésima coluna de B é \vec{b}_{j} = c_{1j}\vec{a}_{1}+c_{2j}\vec{a}_{2}+c_{3j}\vec{a}_{3}, então a j-ésima coluna de C é o vetor \begin{pmatrix}c_{1j}\c_{2j}\c_{3j}\end{pmatrix}. Essa identidade é apenas a forma matricial de escrever combinações lineares das colunas.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso enunciado: os coeficientes das combinações dadas nos fornecem diretamente as colunas de C. A coluna correspondente a \vec{b}_{1} é \begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}, a de \vec{b}_{2} é \begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix} e a de \vec{b}_{3} é \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}. Portanto a matriz C é
Propriedade fundamental de determinantes que vamos usar (e que é muito útil em prova): para matrizes quadradas A e C de mesma ordem,
\det(A\,C)=\det(A)\det\text{(C)}.
Isso significa que, como B=A\,C, vale
\det(B)=\det(A)\det\text{(C)}.
Portanto só falta calcular \det\text{(C)} e multiplicar por \det(A)=3.
Passo 5
Agora calculamos \det\text{(C)}. Vou desenvolver pela regra de Sarrus / expansão por colunas (faço expansão pela primeira linha), mostrando tudo passo a passo: