Vamos revisar rapidamente o que acontece com o determinante quando fazemos operações elementares nas linhas (isso é importante para saber o que podemos fazer sem estragar o valor final):
Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante (multiplica por -1).
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Além disso, se conseguimos transformar a matriz numa matriz triangular superior por operações que preservam ou têm efeito controlado sobre o determinante, então o determinante final é o produto dos elementos da diagonal principal ajustado pelo efeito das trocas/escalares realizadas.
Na prática, usaremos apenas trocas (se necessário) e somas de múltiplos de linhas (que não alteram o determinante), e anotar se fizermos alguma troca. Assim ao final o determinante será (-1)^{\#\text{trocas}} vezes o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular obtida.
Passo 3
Primeiro, para ter um pivô não nulo na primeira coluna, trocamos R_1 com R_2. Esta é uma troca de linhas, então o determinante muda de sinal (multiplica por -1). Após a troca, a matriz fica:
Agora usamos o pivô 2 em posição (3,3). As entradas na coluna 3 abaixo já são zero, então não precisamos operar nessa coluna. Passamos para a coluna 4: o pivô natural é o elemento em (4,4), que vale -1. Usamos esse pivô para zerar a entrada em (5,4):
R_5 \leftarrow R_5 + R_4 (porque 1 + (-1) = 0). Isto é soma de múltiplas de linhas, não altera o determinante.
Contabilizando efeitos sobre o determinante: fizemos exatamente uma troca de linhas no início (troca R_1 com R_2), e todas as outras operações foram somas de múltiplos de linhas (que não mudam o determinante). Portanto o determinante da matriz original é -1 (por causa da troca) vezes o produto dos elementos da diagonal desta matriz triangular.