Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -4 & -2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 5 & 5 & 4 & 3 \\\\ -1 & -7 & -7 & -6 & -6\end{array}\right]\right)
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 5\times5
\left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[2pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[2pt] 2 & -4 & -2 & -6 & -2 \\[2pt] 2 & 5 & 5 & 4 & 3 \\[2pt] -1 & -7 & -7 & -6 & -6 \end{array}\right].
Você deu a dica de calcular via escalonamento (eliminação de linhas). As opções de resposta são:
\text{(A) }-7,\\ \text{(B) }-6,\\ \text{\text{(C)} }-5,\\ \text{(D) }-4,\\ \text{(E) }-3,\\ \text{(F) }-2,\\ \text{(G) }-1,\\ \text{(H) }0.]

Passo 2

Vamos revisar rapidamente o que acontece com o determinante quando fazemos operações elementares nas linhas (isso é importante para saber o que podemos fazer sem estragar o valor final):
  • Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
    Além disso, se conseguimos transformar a matriz numa matriz triangular superior por operações que preservam ou têm efeito controlado sobre o determinante, então o determinante final é o produto dos elementos da diagonal principal ajustado pelo efeito das trocas/escalares realizadas.
Na prática, usaremos apenas trocas (se necessário) e somas de múltiplos de linhas (que não alteram o determinante), e anotar se fizermos alguma troca. Assim ao final o determinante será (-1)^{\#\text{trocas}} vezes o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular obtida.

Passo 3

Primeiro, para ter um pivô não nulo na primeira coluna, trocamos R_1 com R_2. Esta é uma troca de linhas, então o determinante muda de sinal (multiplica por -1). Após a troca, a matriz fica:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[2pt] 2 & -4 & -2 & -6 & -2 \\[2pt] 2 & 5 & 5 & 4 & 3 \\[2pt] -1 & -7 & -7 & -6 & -6 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô 1 na coluna 1 usando somas de múltiplos da primeira linha (essas operações não alteram o determinante):
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_1
Calculando cada linha:
  • R_3: (2,-4,-2,-6,-2) - 2(1,1,1,1,1) = (0,-6,-4,-8,-4).
  • R_4: (2,5,5,4,3) - 2(1,1,1,1,1) = (0,3,3,2,1).
  • R_5: (-1,-7,-7,-6,-6) + (1,1,1,1,1) = (0,-6,-6,-5,-5).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[2pt] 0 & -6 & -4 & -8 & -4 \\[2pt] 0 & 3 & 3 & 2 & 1 \\[2pt] 0 & -6 & -6 & -5 & -5 \end{array}\right].]

Passo 5

Usamos o pivô 3 em posição (2,2) para zerar abaixo na coluna 2, novamente somando múltiplos de R_2 (operações que não alteram o determinante):
  • Para R_3 temos coeficiente -6, fazemos R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 porque -6 + 2\cdot 3 = 0.
  • Para R_4 temos coeficiente 3, fazemos R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
  • Para R_5 temos coeficiente -6, fazemos R_5 \leftarrow R_5 + 2R_2.
Calculando:
  • R_3: (0,-6,-4,-8,-4) + 2(0,3,3,3,3) = (0,0,2,-2,2).
  • R_4: (0,3,3,2,1) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,-2).
  • R_5: (0,-6,-6,-5,-5) + 2(0,3,3,3,3) = (0,0,0,1,1).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[2pt] 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\[2pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\[2pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos o pivô 2 em posição (3,3). As entradas na coluna 3 abaixo já são zero, então não precisamos operar nessa coluna. Passamos para a coluna 4: o pivô natural é o elemento em (4,4), que vale -1. Usamos esse pivô para zerar a entrada em (5,4):
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_4 (porque 1 + (-1) = 0). Isto é soma de múltiplas de linhas, não altera o determinante.
Calculando:
  • R_5: (0,0,0,1,1) + (0,0,0,-1,-2) = (0,0,0,0,-1).
Agora a matriz está triangular superior:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\[2pt] 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\[2pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\[2pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 7

Contabilizando efeitos sobre o determinante: fizemos exatamente uma troca de linhas no início (troca R_1 com R_2), e todas as outras operações foram somas de múltiplos de linhas (que não mudam o determinante). Portanto o determinante da matriz original é -1 (por causa da troca) vezes o produto dos elementos da diagonal desta matriz triangular.
Produto da diagonal:
1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 6.
Multiplicando pelo -1 da troca:
\det = -1 \times 6 = -6.

Resposta

(B) -6

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