Informações relevantes extraídas do enunciado / da matriz:
A matriz é 8\times8.
Observando a matriz, as entradas nas posições (i,j) com i\ge3 e j\le2 são todas 0. Ou seja, as duas primeiras colunas têm zeros nas linhas 3 a 8.
Também as entradas com i\ge6 e j\le5 são todas 0. Ou seja, as primeiras cinco colunas têm zeros nas linhas 6 a 8.
Esses padrões sugerem uma estrutura em blocos (uma forma de matriz “triangular por blocos”) com blocos diagonais correspondentes aos índices:
bloco 1: linhas e colunas 1,2 (tamanho 2\times2),
bloco 2: linhas e colunas 3,4,5 (tamanho 3\times3),
bloco 3: linhas e colunas 6,7,8 (tamanho 3\times3).
O enunciado dá a dica para explorar a estrutura em blocos da matriz.
Passo 2
Definição e objetivo técnico: o polinômio característico de A é
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 8\times8 e \lambda é a variável do polinômio. Nosso objetivo é calcular esse determinante como um polinômio em \lambda.
Explicação do princípio usado (sem começar a calcular ainda): quando uma matriz é triangular por blocos (isto é, tem zeros em todos os blocos abaixo da diagonal principal), o determinante de A-\lambda I é o produto dos determinantes dos blocos diagonais de A-\lambda I. Vou usar isso porque a matriz A mostra exatamente a estrutura de blocos indicada no Passo 1.
Passo 3
Identificação explícita dos blocos diagonais (peguei esses submatrizes olhando a matriz dada):
onde I_2 é a identidade 2\times2 e I_3 a identidade 3\times3. Agora vamos calcular cada fator.]
Passo 4
Cálculo do polinômio característico do bloco B_1 (matriz 2\times2).
Fórmula útil: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix},
temos \det\!\big(\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix}-\lambda I\big)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Aqui a,b,c,d são os elementos e \lambda a variável.
Nota útil: ao calcular determinantes de 3\times3, se uma linha ou coluna tem muitos zeros é eficiente expandir por essa linha/coluna. Aqui a segunda linha é [0,\,-4-\lambda,\,0], que tem zeros nas posições 1 e 3.
Expandindo pelo elemento central da segunda linha (posição (2,2)), cujo sinal de cofator é ( -1)^{2+2}=+1, temos: