Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 3 & 1 & -1 & -4 & -5 & -1 & -1 & 5 \\\\ -25 & -7 & 3 & -2 & 5 & -6 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & -5 & -5 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 5 & 6 & -5 \\\\ 0 & 0 & -4 & 3 & -4 & 6 & -7 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & -3 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(3-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A 8\times8 dada abaixo:
A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 & -4 & -5 & -1 & -1 & 5 \\\\ -25 & -7 & 3 & -2 & 5 & -6 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & -5 & -5 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 5 & 6 & -5 \\\\ 0 & 0 & -4 & 3 & -4 & 6 & -7 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & -3 \end{bmatrix}
Informações relevantes extraídas do enunciado / da matriz:
  • A matriz é 8\times8.
  • Observando a matriz, as entradas nas posições (i,j) com i\ge3 e j\le2 são todas 0. Ou seja, as duas primeiras colunas têm zeros nas linhas 3 a 8.
  • Também as entradas com i\ge6 e j\le5 são todas 0. Ou seja, as primeiras cinco colunas têm zeros nas linhas 6 a 8.
  • Esses padrões sugerem uma estrutura em blocos (uma forma de matriz “triangular por blocos”) com blocos diagonais correspondentes aos índices:
    • bloco 1: linhas e colunas 1,2 (tamanho 2\times2),
    • bloco 2: linhas e colunas 3,4,5 (tamanho 3\times3),
    • bloco 3: linhas e colunas 6,7,8 (tamanho 3\times3).
  • O enunciado dá a dica para explorar a estrutura em blocos da matriz.

Passo 2

Definição e objetivo técnico: o polinômio característico de A é
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 8\times8 e \lambda é a variável do polinômio. Nosso objetivo é calcular esse determinante como um polinômio em \lambda.
Explicação do princípio usado (sem começar a calcular ainda): quando uma matriz é triangular por blocos (isto é, tem zeros em todos os blocos abaixo da diagonal principal), o determinante de A-\lambda I é o produto dos determinantes dos blocos diagonais de A-\lambda I. Vou usar isso porque a matriz A mostra exatamente a estrutura de blocos indicada no Passo 1.

Passo 3

Identificação explícita dos blocos diagonais (peguei esses submatrizes olhando a matriz dada):
  • Bloco B_1 (linhas e colunas 1,2):
B_1=\begin{bmatrix}3 & 1\\\\ -25 & -7\end{bmatrix}.
  • Bloco B_2 (linhas e colunas 3,4,5) — peguei os coeficientes da matriz original nas interseções dessas linhas/colunas:
B_2=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 0\\[4pt] -4 & 3 & -4\end{bmatrix}.
  • Bloco B_3 (linhas e colunas 6,7,8) — peguei os coeficientes da matriz original nas interseções dessas linhas/colunas:
B_3=\begin{bmatrix}-5 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 1\\[4pt] 7 & 12 & -3\end{bmatrix}.
Por causa da estrutura em blocos (observada no Passo 1), temos
p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det(B_1-\lambda I_2)\,\det(B_2-\lambda I_3)\,\det(B_3-\lambda I_3),
onde I_2 é a identidade 2\times2 e I_3 a identidade 3\times3. Agora vamos calcular cada fator.]

Passo 4

Cálculo do polinômio característico do bloco B_1 (matriz 2\times2).
Fórmula útil: para uma matriz 2\times2
\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix},
temos \det\!\big(\begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix}-\lambda I\big)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Aqui a,b,c,d são os elementos e \lambda a variável.
Aplicando a B_1:
B_1-\lambda I_2=\begin{bmatrix}3-\lambda & 1\\\\ -25 & -7-\lambda\end{bmatrix}.
O determinante é
\det(B_1-\lambda I_2)=(3-\lambda)(-7-\lambda)-1\cdot(-25).
Calcule passo a passo:
(3-\lambda)(-7-\lambda) = \lambda^2 + 4\lambda -21,
então
\det(B_1-\lambda I_2)=\lambda^2+4\lambda-21+25=\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2.
Escrevendo na forma usada nas alternativas:
\det(B_1-\lambda I_2)=(-2-\lambda)^2.
(Observação: (\lambda+2)^2 = (-2-\lambda)^2 porque -2-\lambda = -( \lambda+2) e o quadrado anula o sinal.)

Passo 5

Cálculo do polinômio característico do bloco B_2 (matriz 3\times3).
Escrevemos B_2-\lambda I_3:
B_2-\lambda I_3=\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4-\lambda & 0\\[4pt] -4 & 3 & -4-\lambda\end{bmatrix}.
Nota útil: ao calcular determinantes de 3\times3, se uma linha ou coluna tem muitos zeros é eficiente expandir por essa linha/coluna. Aqui a segunda linha é [0,\,-4-\lambda,\,0], que tem zeros nas posições 1 e 3.
Expandindo pelo elemento central da segunda linha (posição (2,2)), cujo sinal de cofator é ( -1)^{2+2}=+1, temos:
\det(B_2-\lambda I_3)=(-4-\lambda)\cdot\det\begin{bmatrix}-2-\lambda & 0\\[4pt] -4 & -4-\lambda\end{bmatrix}.
Agora o determinante 2\times2 interno é
(-2-\lambda)(-4-\lambda)-0\cdot(-4) = (-2-\lambda)(-4-\lambda).
Portanto
\det(B_2-\lambda I_3)=(-4-\lambda)\,(-2-\lambda)\,(-4-\lambda)=(-2-\lambda)\,(-4-\lambda)^2.]

Passo 6

Cálculo do polinômio característico do bloco B_3 (matriz 3\times3).
Escrevemos B_3-\lambda I_3:
B_3-\lambda I_3=\begin{bmatrix}-5-\lambda & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1-\lambda & 1\\[4pt] 7 & 12 & -3-\lambda\end{bmatrix}.
Observação útil: a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então expandir pela primeira linha é imediato. O determinante vale
\det(B_3-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\cdot\det\begin{bmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 12 & -3-\lambda\end{bmatrix}.
Agora calculamos o 2\times2:
\det\begin{bmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 12 & -3-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(-3-\lambda)-1\cdot 12.
Calcule passo a passo:
(1-\lambda)(-3-\lambda)=\lambda^2+2\lambda-3,
então
\lambda^2+2\lambda-3-12=\lambda^2+2\lambda-15.
Fatorando \lambda^2+2\lambda-15=(\lambda+5)(\lambda-3). Logo
\det(B_3-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\,(\lambda+5)\,(\lambda-3).
Agora reorganizamos os sinais para ficar na mesma forma das alternativas. Note que \lambda+5=-( -5-\lambda). Portanto
(-5-\lambda)(\lambda+5) = -(-5-\lambda)^2.
Multiplicando por (\lambda-3) temos
\det(B_3-\lambda I_3)= -(-5-\lambda)^2(\lambda-3).
E como \lambda-3=-(3-\lambda), o sinal extra desaparece:
\det(B_3-\lambda I_3)=(-5-\lambda)^2(3-\lambda).
Ou seja, em termos dos fatores das alternativas:
\det(B_3-\lambda I_3)=(-5-\lambda)^2(3-\lambda).]

Passo 7

Produto dos determinantes dos blocos para obter p_A(\lambda).
Juntando os resultados dos Passos 4, 5 e 6:
\begin{aligned} p_A(\lambda)&=\det(B_1-\lambda I_2)\,\det(B_2-\lambda I_3)\,\det(B_3-\lambda I_3)\\[4pt] &=(-2-\lambda)^2\cdot\big((-2-\lambda)(-4-\lambda)^2\big)\cdot\big((-5-\lambda)^2(3-\lambda)\big). \end{aligned}
Agrupando as potências dos fatores iguais:
p_A(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}\;(-4-\lambda)^{2}\;(-5-\lambda)^{2}\;(3-\lambda).]

Passo 8

Interpretação final e comparação com as alternativas: o polinômio obtido coincide com a alternativa (B).

Resposta

(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)

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