Encontre o ponto de interseção entre as retas:
r: X=(-2,-4,3)+\lambda(0,12,-7), \lambda \in \mathbb{R} \mathrm{e}
s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
◯ a. (-3,10,-5)
◯ b. (-2,8,-4)
◯ c. (0,4,-2)
◯ d. (-4,12,-6)
◯ e. (-1,6,-3)

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o ponto de interseção (se existir):
r:\;X=(-2,-4,3)+\lambda(0,12,-7),\\ \lambda\in\mathbb{R}
s:\;X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1),\\ t\in\mathbb{R}
O que precisamos encontrar é um ponto P=(x,y,z) que pertença simultaneamente a r e a s. Em termos de parâmetros, isso significa achar valores de \lambda e t tais que as coordenadas de r e s coincidam.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de cada reta componente a componente (isto é, as equações paramétricas):
Para r:
x_r=-2+\lambda\cdot 0=-2,
y_r=-4+12\lambda,
z_r=3-7\lambda.
Aqui \lambda é o parâmetro que percorre a reta r: para cada \lambda obtemos um ponto diferente em r.
Para s:
x_s=1 - t,
y_s=2 + 2t,
z_s=-1 - t.
Aqui t é o parâmetro que percorre a reta s.

Passo 3

Interseção significa igualdade das três coordenadas:
x_r = x_s,\qquad y_r = y_s,\qquad z_r = z_s.
Substituindo as expressões obtidas:
-2 = 1 - t,
-4 + 12\lambda = 2 + 2t,
3 - 7\lambda = -1 - t.
Vamos resolver esse sistema para encontrar \lambda e t.

Passo 4

Começo pela equação mais simples, a de x:
-2 = 1 - t.
Isolando t:
-2 - 1 = -t \quad\Rightarrow\quad -3 = -t \quad\Rightarrow\quad t = 3.
Então, se houver interseção, ela ocorre quando t=3 na reta s.

Passo 5

Com t=3, calculo as coordenadas de s neste t:
x_s = 1 - 3 = -2,
y_s = 2 + 2\cdot 3 = 2 + 6 = 8,
z_s = -1 - 3 = -4.
Portanto o ponto da reta s correspondente a t=3 é (-2,8,-4).

Passo 6

Agora verifico se existe \lambda na reta r que dá o mesmo ponto. Uso a coordenada y de r:
y_r = -4 + 12\lambda \stackrel{?}{=} 8.
Resolvo para \lambda:
-4 + 12\lambda = 8 \quad\Rightarrow\quad 12\lambda = 12 \quad\Rightarrow\quad \lambda = 1.
Com \lambda=1 calcule z_r para conferir consistência:
z_r = 3 - 7\cdot 1 = 3 - 7 = -4,
que é exatamente o z que obtivemos para s quando t=3. E x_r=-2 já era igual a x_s. Logo as três coordenadas coincidem para \lambda=1 e t=3.

Passo 7

Concluímos que as retas se intersectam e o ponto de interseção é
P = (-2,\,8,\,-4).
Confiro com as opções dadas: essa coordenada corresponde exatamente à opção b.

Resposta

b. (-2,8,-4)

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