Encontre o ponto de interseção entre as retas:
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o ponto de interseção (se existir):
O que precisamos encontrar é um ponto
que pertença simultaneamente a
e a
. Em termos de parâmetros, isso significa achar valores de
e
tais que as coordenadas de
e
coincidam.
Passo 2
Escrevendo as coordenadas de cada reta componente a componente (isto é, as equações paramétricas):
Para :
Para
Aqui
é o parâmetro que percorre a reta
: para cada
obtemos um ponto diferente em
.
Para
:
Aqui
é o parâmetro que percorre a reta
.
Passo 3
Interseção significa igualdade das três coordenadas:
Substituindo as expressões obtidas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Começo pela equação mais simples, a de
:
Isolando
:
Então, se houver interseção, ela ocorre quando
na reta
.
Passo 5
Com
, calculo as coordenadas de
neste
:
Portanto o ponto da reta
correspondente a
é
.
Passo 6
Agora verifico se existe
na reta
que dá o mesmo ponto. Uso a coordenada
de
:
Resolvo para
:
Com
calcule
para conferir consistência:
que é exatamente o
que obtivemos para
quando
. E
já era igual a
. Logo as três coordenadas coincidem para
e
.
Passo 7
Concluímos que as retas se intersectam e o ponto de interseção é
Confiro com as opções dadas: essa coordenada corresponde exatamente à opção b.
Resposta
b.