Considere a matriz
A=[rrr 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ]
Determine, para cada autovalor lambda, o autoespaço V(lambda).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1
e pede, para cada autovalor lambda, o autoespaço
V(lambda)=kerl(A-lambda Ir)
Para isso vamos ( 1) calcular os autovalores via o polinômio característico e ( 2) resolver o sistema (A-lambda I)x=0.

Passo 2

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 4 & 0 -1 & 1-lambda & -4 0 & -2 & 1-lambda
Expansão pela primeira linha dá
(1-lambda)l[(1-lambda)^2-(-4)(-2)r] -4l[(-1)(1-lambda)-0cdot(-4)r]
Simplificando
(1-lambda)l(lambda^2-2lambda-7r) -4(-1+lambda) =-lambda^3+3lambda^2+lambda-3
e, multiplicando por -1,
lambda^3-3lambda^2-lambda+3 =(lambda-1)(lambda+1)(lambda-3)
Logo os autovalores são
lambda=1, lambda=-1, lambda=3

Passo 3

Para resolvemos
As equações são
Tomando , , obtemos

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira e terceira linhas vem
A segunda linha é redundante. Com temos

Passo 5

Para resolvemos
Da primeira linha .
Da segunda ou terceira obtemos .
Com segue

Resposta

V(1) = Span(-4,0,1)
V(-1) = Span(-2,1,1)
V(3) = Span(2,1,-1)

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