Considere a matriz
A=[rrr 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ]
A matriz A é diagonalizável? Justifique!

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1
e pergunta se ela é diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes, que exige calcular os autovalores (raízes do polinômio característico) e verificar se há uma base de autovetores em R^3.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I):
chiA(lambda) =det 1-lambda & 4 & 0 -1 & 1-lambda & -4 0 & -2 & 1-lambda
Expandindo pela primeira linha:
chiA(lambda) =(1-lambda)det1-lambda & -4-2 & 1-lambda -4det-1 & -40 & 1-lambda
Agora calculamos os menores:
det1-lambda & -4-2 & 1-lambda =(1-lambda)^2-8,
det-1 & -40 & 1-lambda =-1cdot(1-lambda)=-(1-lambda)
Substituindo de volta:
chiA(lambda) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-8r) -4l(-(1-lambda)r) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-8+4r)

Passo 3

Fatorando o que está dentro do parênteses:
chiA(lambda) =(1-lambda)l((1-lambda)^2-4r) =(1-lambda)(1-lambda-2)(1-lambda+2)
As equações
1-lambda=0,1-lambda-2=0,1-lambda+2=0
dão os autovalores
lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=3

Passo 4

Como são três autovalores distintos em uma matriz 3times3, cada um tem multiplicidade algébrica 1 e, por consequência, multiplicidade geométrica 1. Logo existem três autovetores linearmente independentes, o que garante que A admitirá uma diagonalização.

Resposta

A matriz A é diagonalizável, pois possui três autovalores distintos 1,-1,3.

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