Considere a matriz
A=[rrr 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ]
Determine, se possível, uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização da matriz
A = 1 & 4 & 0 -1 & 1 & -4 0 & -2 & 1 ,
ou seja, encontrar uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D
O conteúdo que vamos usar é o de valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).

Passo 2

Para obter os autovalores de A, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Escrevendo
A - lambda I = 1-lambda & 4 & 0 -1 & 1-lambda & -4 0 & -2 & 1-lambda
e expandindo o determinante, chega-se a
det(A-lambda I) = (1-lambda)l[(1-lambda)^2 - 8r] + 4(1-lambda) = (1-lambda)l((1-lambda)^2 - 4r) = (1-lambda)(lambda^2 -2lambda -3)
Portanto os autovalores são as raízes de (1-lambda)(lambda^2-2lambda-3)=0, ou seja
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -1

Passo 3

Para
Daqui . Tomando , um autovetor é

Passo 4

Para
Da primeira . Tomando , um autovetor é

Passo 5

Para
Da primeira . Tomando , um autovetor é

Passo 6

Como os três autovalores são distintos, os vetores v1,v2,v3 formam uma base. Definimos
P = l[v1;v2;v3r] = -4 & -2 & -2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1 ,
e colocamos os autovalores na diagonal de
D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

P = -4 & -2 & -2 0 & -1 & 1 1 & 1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 ,
tal que P^-1AP = D.

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