Considere a matriz
Determine, se possível, uma matriz
P e uma matriz diagonal
D tal que
P^-1 A P=D .
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização da matriz
ou seja, encontrar uma matriz inversível
P e uma matriz diagonal
D tais que
O conteúdo que vamos usar é o de valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).
Passo 2
Para obter os autovalores de
A , calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 . Escrevendo
e expandindo o determinante, chega-se a
Portanto os autovalores são as raízes de
(1-lambda)(lambda^2-2lambda-3)=0 , ou seja
Passo 3
Para
Daqui . Tomando
, um autovetor é
Passo 4
Para
Da primeira . Tomando
, um autovetor é
Passo 5
Para
Da primeira . Tomando
, um autovetor é
Passo 6
Como os três autovalores são distintos, os vetores
v1,v2,v3 formam uma base. Definimos
e colocamos os autovalores na diagonal de
Resposta
tal que
P^-1AP = D .