Considere uma partícula numa caixa unidimensional infinita com comprimento L e que está centrada na origem. (a) Quais são os valores de \psi_{1}(0) e \psi_{2}(0) ? (b) Quais são os valores de \langle x\rangle para os estados n=1 e n=2 ? (c) Calcule \left\langle x^{2}\right\rangle para os estados n=1 e n=2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para uma partícula numa caixa unidimensional infinita de comprimento L centrada na origem (domínio x\in[-L/2,\,L/2]):
  • (a) Os valores de \psi_{1}(0) e \psi_{2}(0).
  • (b) Os valores de \langle x\rangle (esperança de x) para os estados n=1 e n=2.
  • (c) Os valores de \langle x^{2}\rangle para os estados n=1 e n=2.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Caixa infinita centrada na origem implica condições de contorno \psi(\pm L/2)=0.
  • Os autovalores de energia e autofunções seguem a forma conhecida para poço infinito simétrico (vamos usar explicitamente as autofunções normalizadas abaixo).

Passo 2

Vamos escrever as autofunções normalizadas para o poço centrado em x=0\). Para o poço com \(\psi(\pm L/2)=0\) as soluções separadas em paridade são: \[\psi_{n}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\begin{cases} \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), & n \text{ ímpar},\\[6pt] \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), & n \text{ par}. \end{cases}
Isto é uma forma prática: para n=1\] (ímpar) obtemos a função cosseno com \(k=\pi/L; para n=2 (par) obtemos seno com k=2\pi/L. A normalização \sqrt{2/L} vem de exigir \int_{-L/2}^{L/2}|\psi_n|^2 dx = 1.
Portanto, usaremos explicitamente:
\psi_{1}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right), \qquad \psi_{2}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right).]

Passo 3

(a) Avaliar \psi_{1}(0) e \psi_{2}(0).
Substituindo x=0 nas fórmulas do passo anterior:
\psi_{1}(0)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\cos\!\left(0\right)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\cdot 1=\sqrt{\dfrac{2}{L}}.
\psi_{2}(0)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(0\right)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\cdot 0=0.

Passo 4

(b) Calcular \langle x\rangle para n=1 e n=2.
Definição da esperança:
\langle x\rangle_n=\int_{-L/2}^{L/2}\psi_n^{*}(x)\,x\,\psi_n(x)\,dx=\int_{-L/2}^{L/2}x\,|\psi_n(x)|^2\,dx.
Observação importante sobre paridade: em um poço simétrico as autofunções têm paridade definida (ou pares ou ímpares) e x é função ímpar. O produto x\,|\psi_n(x)|^2 é sempre uma função ímpar (pois |\psi_n(x)|^2 é par), e a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico [-L/2,L/2] é zero. Logo, sem cálculo pesado:
\langle x\rangle_{n}=0\quad\text{para }n=1\text{ e }n=2.
(Isto vale para qualquer estado estacionário do poço centrado.)

Passo 5

(c) Calcular \langle x^{2}\rangle para n=1 (procedimento detalhado).
Definição:
\langle x^{2}\rangle_1=\int_{-L/2}^{L/2}\psi_1^{*}(x)\,x^{2}\,\psi_1(x)\,dx =\dfrac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\cos^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx.
Usamos identidade trigonométrica \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Assim:
\langle x^{2}\rangle_1=\dfrac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\dfrac{1+\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)}{2}\,dx =\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dx +\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\,dx.
Denotemos
I_0=\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dx,\qquad I_c^{(1)}=\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 6

Calcular I_0 e I_c^{(1)}.
Primeiro,
I_0=2\int_{0}^{L/2}x^{2}\,dx=2\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L/2} =2\cdot\dfrac{(L/2)^{3}}{3}=\dfrac{L^{3}}{12}.
Agora I_c^{(1)}. Seja a=\dfrac{2\pi}{L}. Usamos integração por partes (duas vezes) ou a fórmula direta:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx=\dfrac{x^{2}\sin(ax)}{a}+\dfrac{2x\cos(ax)}{a^{2}}-\dfrac{2\sin(ax)}{a^{3}}+C.
Avaliando de -L/2 a L/2. Note que a função é par, então podemos calcular 2 vezes a integral de 0 a L/2. Em x=L/2 temos a x = a\cdot \dfrac{L}{2}=\pi, então \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1. Em x=0 todos os termos envolvendo x ou \sin(0) desaparecem. Assim
\int_{0}^{L/2}x^{2}\cos(ax)\,dx=\left[\dfrac{x^{2}\sin(ax)}{a}+\dfrac{2x\cos(ax)}{a^{2}}-\dfrac{2\sin(ax)}{a^{3}}\right]_{0}^{L/2} =\dfrac{L}{a^{2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{1}\right) = -\dfrac{L}{a^{2}}.
Portanto
I_c^{(1)}=2\left(-\dfrac{L}{a^{2}}\right)=-\dfrac{2L}{a^{2}}.
Substituindo a=\dfrac{2\pi}{L}
I_c^{(1)}=-\dfrac{2L}{(2\pi/L)^{2}}=-\dfrac{2L}{4\pi^{2}/L^{2}}=-\dfrac{L^{3}}{2\pi^{2}}.

Passo 7

Combinar para obter \langle x^{2}\rangle_1.
Temos
\langle x^{2}\rangle_1=\dfrac{1}{L}\bigl(I_0+I_c^{(1)}\bigr) =\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{L^{3}}{12}-\dfrac{L^{3}}{2\pi^{2}}\right) =L^{2}\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}\right).
Podemos também escrever de forma combinada:
\langle x^{2}\rangle_1 = L^{2}\,\dfrac{\pi^{2}-6}{12\pi^{2}}.

Passo 8

Calcular \langle x^{2}\rangle para n=2.
Para n=2 usamos \psi_{2}(x)=\sqrt{2/L}\sin(2\pi x/L). Então
\langle x^{2}\rangle_2=\dfrac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\sin^{2}\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\,dx.
Usando \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2} obtemos
\langle x^{2}\rangle_2=\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\,dx -\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\cos\!\left(\dfrac{4\pi x}{L}\right)\,dx.
O primeiro termo é I_0/L=L^{2}/12 como já calculamos. O segundo termo chamemos de I_c^{(2)}/L com
I_c^{(2)}=\int_{-L/2}^{L/2}x^{2}\cos\!\left(\dfrac{4\pi x}{L}\right)\,dx.
Repete-se procedimento do passo 6 com a=\dfrac{4\pi}{L}. Avaliando a primitive nos limites, para x=L/2 temos a x = 2\pi então \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1. Usando a mesma fórmula da integral,
\int_{0}^{L/2}x^{2}\cos(ax)\,dx=\dfrac{L}{a^{2}}\cdot\left(+\dfrac{1}{1}\right)=\dfrac{L}{a^{2}},
logo
I_c^{(2)}=2\cdot\dfrac{L}{a^{2}}=\dfrac{2L}{a^{2}}.
Com a=\dfrac{4\pi}{L} obtemos
I_c^{(2)}=\dfrac{2L}{(4\pi/L)^{2}}=\dfrac{2L}{16\pi^{2}/L^{2}}=\dfrac{L^{3}}{8\pi^{2}}.
Portanto
\langle x^{2}\rangle_2=\dfrac{1}{L}\left(\dfrac{L^{3}}{12}-\dfrac{L^{3}}{8\pi^{2}}\right) =L^{2}\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{8\pi^{2}}\right).
Forma alternativa:
\langle x^{2}\rangle_2 = L^{2}\,\dfrac{2\pi^{2}-3}{24\pi^{2}}.

Resposta

(a) \psi_{1}(0)=\sqrt{\dfrac{2}{L}} \
(a) \psi_{2}(0)=0
(b) \langle x\rangle_{n=1}=0 \
(b) \langle x\rangle_{n=2}=0
(c) \langle x^{2}\rangle_{n=1}=L^{2}\displaystyle\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2\pi^{2}}\right)=L^{2}\dfrac{\pi^{2}-6}{12\pi^{2}} \
(c) \langle x^{2}\rangle_{n=2}=L^{2}\displaystyle\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{8\pi^{2}}\right)=L^{2}\dfrac{2\pi^{2}-3}{24\pi^{2}}

Exercícios relacionados