Considere uma partícula numa caixa unidimensional infinita com comprimento
e que está centrada na origem. (a) Quais são os valores de
e
? (b) Quais são os valores de
para os estados
e
? (c) Calcule
para os estados
e
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para uma partícula numa caixa unidimensional infinita de comprimento
centrada na origem (domínio
):
- (a) Os valores de
e . - (b) Os valores de
(esperança de ) para os estados e . - (c) Os valores de
para os estados e .
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
- Caixa infinita centrada na origem implica condições de contorno
. - Os autovalores de energia e autofunções seguem a forma conhecida para poço infinito simétrico (vamos usar explicitamente as autofunções normalizadas abaixo).
Passo 2
Vamos escrever as autofunções normalizadas para o poço centrado em
Isto é uma forma prática: para
; para
(par) obtemos seno com
. A normalização
vem de exigir
.
Portanto, usaremos explicitamente:
Passo 3
(a) Avaliar
e
.
Substituindo
nas fórmulas do passo anterior:
Passo 4
(b) Calcular
para
e
.
Definição da esperança:
Observação importante sobre paridade: em um poço simétrico as autofunções têm paridade definida (ou pares ou ímpares) e
é função ímpar. O produto
é sempre uma função ímpar (pois
é par), e a integral de uma função ímpar num intervalo simétrico
é zero. Logo, sem cálculo pesado:
(Isto vale para qualquer estado estacionário do poço centrado.)
Passo 5
(c) Calcular
para
(procedimento detalhado).
Definição:
Usamos identidade trigonométrica
. Assim:
Denotemos
Passo 6
Calcular
e
.
Primeiro,
Agora
. Seja
. Usamos integração por partes (duas vezes) ou a fórmula direta:
Avaliando de
a
. Note que a função é par, então podemos calcular
vezes a integral de
a
. Em
temos
, então
e
. Em
todos os termos envolvendo
ou
desaparecem. Assim
Portanto
Substituindo
dá
Passo 7
Combinar para obter
.
Temos
Podemos também escrever de forma combinada:
Passo 8
Calcular
para
.
Para
usamos
. Então
Usando
obtemos
O primeiro termo é
como já calculamos. O segundo termo chamemos de
com
Repete-se procedimento do passo 6 com
. Avaliando a primitive nos limites, para
temos
então
e
. Usando a mesma fórmula da integral,
logo
Com
obtemos
Portanto
Forma alternativa:
Resposta
(a)
\
(a)
(a)
(b)
\
(b)
(b)
(c)
\
(c)
(c)