Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A=P D P^{-1} onde
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix},
isto é, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores e autovetores de A para montar P e D.

Passo 2

Para obter os autovalores, calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 & -1\\\\ 1 & 4-\lambda & 1\\\\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Desenvolvendo, chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 +8\lambda^2 -21\lambda +18
ou seja,
\lambda^3 -8\lambda^2 +21\lambda -18 = 0.

Passo 3

Fatorando \lambda^3 -8\lambda^2 +21\lambda -18 por tentativa, obtemos
(\lambda-2)(\lambda^2 -6\lambda +9) = (\lambda-2)(\lambda-3)^2.
Portanto, os autovalores são
\lambda_1 = 2\quad(\text{multiplicidade algebraica }1), \quad \lambda_2 = 3,\;\lambda_3 = 3\quad(\text{multiplicidade alg. }2).

Passo 4

Agora achamos os autovetores. Para \lambda_1=2, resolvemos (A-2I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0
que dá as equações
y+z=0,\quad x+y=0,
de onde x=-y e z=-y. Um autovetor associado é
v_1 = (-1,\,1,\,-1)^{T}.

Passo 5

Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)x=0:
\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0
que impõe x+y+z=0. O espaço de soluções é de dimensão 2. Podemos escolher dois vetores lineares independentes, por exemplo
v_2 = (1,\,-1,\,0)^{T}, \quad v_3 = (1,\,0,\,-1)^{T},
ambos satisfazendo x+y+z=0.

Passo 6

Formamos P cujas colunas são os autovetores em ordem dos autovalores, e D diagonal com os autovalores:
P = \bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Como os autovetores são linearmente independentes, P é invertível e satisfaz
A = P\,D\,P^{-1}.

Resposta

P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad A = P\,D\,P^{-1}.

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