Diagonalize, se possível, a matriz
. Se for diagonalizável, encontre matrizes
e
, com
invertível e
diagonal, tais que
onde
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
isto é, encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores e autovetores de
para montar
e
.
Passo 2
Para obter os autovalores, calculamos o polinômio característico
Desenvolvendo, chega-se a
ou seja,
Passo 3
Fatorando
por tentativa, obtemos
Portanto, os autovalores são
Passo 4
Agora achamos os autovetores. Para
, resolvemos
:
que dá as equações
de onde
e
. Um autovetor associado é
Passo 5
Para
, resolvemos
:
que impõe
. O espaço de soluções é de dimensão 2. Podemos escolher dois vetores lineares independentes, por exemplo
ambos satisfazendo
.
Passo 6
Formamos
cujas colunas são os autovetores em ordem dos autovalores, e
diagonal com os autovalores:
Como os autovetores são linearmente independentes,
é invertível e satisfaz