e pede:
– (a) os autovalores de A;
– (b) os autoespaços (geometricamente, os núcleos de A - \lambda I);
– (c) concluir se A é diagonalizável.
Para isso, vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I) e depois resolver sistemas lineares para cada \lambda.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico. Como A é triangular superior,
Da terceira equação x_3=0\]. Então \(x_1=0 e sobra x_2 livre. Tomando s=x_2, temos
x=(0,s,0) = s\,(0,1,0).
Assim
E_3 = \ker(A-3I) = \Span\{(0,1,0)\},
de dimensão geométrica 1.
Passo 5
Para A ser diagonalizável, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser igual a 3 (a ordem da matriz). Aqui \dim E_2 = 1 e \dim E_3 = 1, soma 1+1=2<3.
Além disso, o autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio tem dimensão geométrica apenas 1.
(c) A não é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos autoespaços é 2<3 e a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é menor que sua multiplicidade algébrica.