Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 1 & 3 & 3 & 8 \\\\ -2 & -5 & 1 & -8 \end{array}\right)
Encontre matrizes elementares E, F, G e H tais que o produto R=E F G H A é uma matriz escalonada reduzida.

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 1 & 3 & 3 & 8 \\\\ -2 & -5 & 1 & -8 \end{pmatrix}
e queremos obter sua forma escalonada reduzida usando multiplicações à esquerda por matrizes elementares H, G, F e E, de modo que
R = E\,F\,G\,H\,A
esteja em forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro trocamos a linha 1 com a linha 2 para obter o pivô 1 em (1,1). A matriz elementar é
H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e
H\,A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 8 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ -2 & -5 & 1 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida zeramos a entrada (3,1) somando 2 vezes a linha 1 à linha 3. A matriz elementar é
G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e
G\,H\,A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 8 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora zeramos a entrada (3,2) subtraindo a linha 2 da linha 3. A matriz elementar é
F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e
F\,G\,H\,A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 8 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Por fim eliminamos a entrada acima do pivô em (2,2) subtraindo 3 vezes a linha 2 da linha 1. A matriz elementar é
E = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e
E\,F\,G\,H\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -18 & -16 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

As matrizes elementares que realizam a redução são
E = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},
G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e a forma escalonada reduzida resultante é
R = E\,F\,G\,H\,A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -18 & -16 \\\\ 0 & 1 & 7 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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