Sabendo que A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right) e A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & c & 1 \\\\ 0 & b & 1 & 1 \\\ a & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 & -1\end{array}\right),
(a) encontre os valores de a, b, c.
(b) encontre a solução de A x=b, onde b=\left(\begin{array}{llll}1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right)^{T}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\\\ 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e supõe que
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & c & 1\\\\ 0 & b & 1 & 1\\\ a & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Precisamos achar os constantes a,b,c usando
A\,A^{-1}=I
e depois resolver o sistema
A x = b,\quad b=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}
pela fórmula x=A^{-1}b.

Passo 2

Multiplicando a primeira linha de A pela primeira, segunda e terceira colunas de A^{-1} e igualando ao vetor (1,0,0,0) obtemos:
  • Para a entrada (1,2):
1\cdot0 + (-1)\,b + 0\cdot1 +0\cdot1 = -b = 0
\implies b=0.
  • Para a entrada (1,3):
1\cdot c + (-1)\cdot1 +0\cdot0 +0\cdot0 = c-1 = 0
\implies c=1.

Passo 3

Multiplicando a segunda linha de A pela primeira coluna de A^{-1} e igualando à entrada zero da identidade,
1\cdot1 +(-1)\cdot0 +1\cdot a +0\cdot(-1)=1 + a = 0
\implies a=-1.

Passo 4

Concluímos que
a=-1,\quad b=0,\quad c=1,
ou seja
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para resolver A x=b usamos
x = A^{-1}b.
Calculando cada componente:
x_1 = 1\cdot1 +0\cdot(-1) +1\cdot1 +1\cdot(-1) = 1+0+1-1 =1,
x_2 = 0\cdot1 +0\cdot(-1) +1\cdot1 +1\cdot(-1) =0+0+1-1 =0,
x_3 = (-1)\cdot1 +1\cdot(-1) +0\cdot1 +0\cdot(-1) = -1-1 = -2,
x_4 = (-1)\cdot1 +1\cdot(-1) +0\cdot1 +(-1)\cdot(-1) = -1-1+1 = -1.

Resposta

(a) a=-1,\;b=0,\;c=1.
(b) x=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados