Sejam
matrizes
. Mostre que se
não é inversível, então
também não o é.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas matrizes quadradas
, se
não é inversível então
também não é inversível. Vamos usar o fato de que, em dimensão finita, uma matriz é inversível se e somente se o endomorfismo linear correspondente é injetor (ou seja, tem núcleo trivial).
Passo 2
Como
não é inversível, o endomorfismo
não é injetor. Logo existe vetor não nulo
tal que
Passo 3
Aplicando
ao vetor
, obtemos
Portanto
também pertence ao núcleo de
, o que mostra que
não é injetor.
Resposta
Como
não é injetor, ele não pode ser inversível. Assim, se
não é inversível, então
também não o é.