Sejam A, B matrizes n \times n. Mostre que se B não é inversível, então A B também não o é.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para duas matrizes quadradas A,B\in\mathbb{K}^{n\times n}, se B não é inversível então AB também não é inversível. Vamos usar o fato de que, em dimensão finita, uma matriz é inversível se e somente se o endomorfismo linear correspondente é injetor (ou seja, tem núcleo trivial).

Passo 2

Como B não é inversível, o endomorfismo B\colon\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n não é injetor. Logo existe vetor não nulo v\in\mathbb{K}^n tal que
Bv = 0,\quad v\neq 0.

Passo 3

Aplicando A ao vetor Bv, obtemos
ABv \;=\; A\bigl(Bv\bigr) \;=\; A(0) \;=\; 0.
Portanto v\neq 0 também pertence ao núcleo de AB, o que mostra que AB não é injetor.

Resposta

Como AB não é injetor, ele não pode ser inversível. Assim, se B não é inversível, então AB também não o é.

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