escreva no sistema de coordenadas x^{\prime} y^{\prime} a equação da cônica 5 x^{2}+4 x y+2 y^{2}=12.
(b) Identifique essa cônica e faça um esboço da mesma no sistema x y, indicando também, no mesmo esboço, a posição dos eixos x^{\prime} y^{\prime}.
(a) usando a mudança de coordenadas \displaystyle \binom{x'}{y'}=P^{T}\binom{x}{y}, escrever no sistema x'y' a equação da cônica dada por \displaystyle 5x^{2}+4xy+2y^{2}=12;
(b) identificar a cônica e fazer um esboço no sistema xy, indicando também a posição dos eixos x'y'.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação quadrática em x,y tem coeficientes: coeficiente de x^{2} igual a 5, coeficiente de xy igual a 4, coeficiente de y^{2} igual a 2.
A transformação entre coordenadas é ortogonal: \displaystyle (x',y')^{T}=P^{T}(x,y)^{T}. (Não é pedido provar, mas usaremos que P é ortogonal.)
A ideia é eliminar o termo misto xy passando para coordenadas onde a forma quadrática fica diagonal.]
Passo 2
Entender a relação entre a equação da cônica e uma forma quadrática matricial (a teoria necessária e intuitiva).
Uma forma quadrática em (x,y) pode ser escrita como
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix},
onde A é a matriz simétrica dos coeficientes. Para a equação \,5x^{2}+4xy+2y^{2}=12 a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix},
porque o termo 4xy corresponde a 2 em cada off-diagonal (já que x^{T}A x = 5x^{2}+2\cdot 2xy +2y^{2}).
Se fizermos uma mudança de base ortogonal \,x = P x' (equivalentemente \,x' = P^{T} x quando P é ortogonal), a forma quadrática transforma-se assim:
x^{T}A x = (x')^{T}(P^{T} A P)x'.
Portanto, se escolhermos P que diagonaliza A (isto é, P^{T} A P diagonal), obtemos uma equação sem termo misto em x',y'.
Explicação rápida do porquê: colunas de P podem ser autovetores normalizados de A; então P^{T}AP tem autovalores na diagonal.]
Passo 3
Calcular autovalores de A (passo por passo, sem pular contas).
Resolvendo \lambda^{2}-7\lambda+6=0 obtemos as raízes
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=6,
porque (\lambda-1)(\lambda-6)=0.
Interpretação didática: os autovalores dizem quanto “peso” a forma quadrática dá às coordenadas ao longo das direções próprias. Valores diferentes indicam alongamentos diferentes na nova base.]
Passo 4
Verificar os autovetores e a compatibilidade com a matriz P fornecida (isto mostra por que P diagonaliza A).
Encontrar autovetor para \lambda_{1}=1: resolver (A-I)v=0. Um vetor solução é (1,-2)^{T} (verificação direta):
Podemos também escrever na forma padrão dividindo por 12:
\frac{x'^{2}}{12}+\frac{y'^{2}}{2}=1,
o que deixa explícitos os semi-eixos.
A explicação: a mudança de coordenadas alinhou os eixos com as direções próprias de A, eliminando o termo misto xy e resultando em uma equação diagonal simples.]
Passo 6
Identificar a cônica e determinar parâmetros (interpretando a equação diagonal).
A equação \displaystyle \frac{x'^{2}}{12}+\frac{y'^{2}}{2}=1 é a forma padrão de uma elipse centrada na origem no sistema x'y'.
Os semi-eixos são
a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\quad\text{(semieixo maior ao longo do eixo \(x'\))},
b=\sqrt{2}\quad\text{(semieixo menor ao longo do eixo \(y'\))}.
Observação sobre orientação: o eixo x' no plano xy tem direção dada pelo autovetor associado a \lambda_{1}=1, isto é pelo vetor (1,-2) (normalizado em P); o eixo y' tem direção dada por (2,1).
Passo 7
Determinar pontos notáveis da elipse no sistema xy (útil para o esboço) — calcular as coordenadas dos vértices principais.
Vértices ao longo do eixo x' (quando y'=0, x'=\pm a=\pm 2\sqrt{3}):
Esses pontos ajudam a desenhar a elipse no plano xy.]
Passo 8
Como esboçar a elipse e posicionar os eixos x'y' no mesmo desenho (instruções práticas para a prova).
Desenho passo a passo:
Marcar o centro em (0,0).
Desenhar a direção do eixo x' passando pela origem com vetor diretor (1,-2) (slope =-2; ou faça uma reta que desce 2 unidades para direita 1). Marcar os dois vértices principais em distâncias 2\sqrt{3} nesta direção (usar as coordenadas calculadas acima).
Desenhar a direção do eixo y' perpendicular a essa, com vetor diretor (2,1) (slope =1/2). Marcar os vértices secundários nas distâncias \sqrt{2} nessa direção.
Unir suavemente os quatro vértices para obter a elipse alongada na direção do eixo x'.
Observação geométrica rápida: como \lambda_{1}=1<\lambda_{2}=6, a elipse é mais alongada na direção do autovetor de \lambda_{1} (isto é, no eixo x').
Também é útil anotar no desenho os comprimentos dos semieixos: a=2\sqrt{3} ao longo de x' e b=\sqrt{2} ao longo de y'.
Animação mental: o eixo x' faz um ângulo de \arctan(-2)\approx-63{,}434^\circ com o eixo x (ou seja, roda cerca de 63{,}4^\circ no sentido horário); o eixo y' faz \arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ no sentido anti-horário a partir do eixo x. Isso ajuda a posicionar os eixos no esboço.
Resposta
(a) \;x'^{2}+6y'^{2}=12\; (ou \;\dfrac{x'^{2}}{12}+\dfrac{y'^{2}}{2}=1).
(b) É uma elipse centrada na origem; semi-eixos a=2\sqrt{3} ao longo do eixo x' (direção (1,-2)) e b=\sqrt{2} ao longo do eixo y' (direção (2,1)).