Considere os seguintes lugares geométricos do espaço:
\begin{gathered} \Omega_{1}:\left\{\begin{array}{c} 2 x-y+z=1 \\\ x-2 y+2 z=2 \end{array}\right. \\\ \Omega_{2}:\{x+y-z=2 \end{gathered}
(a) (1,5 pts) Identifique tais lugares geométricos (ponto, reta ou plano). Determine as suas respectivas equações paramétricas.
(b) ( 1,5 \mathrm{pts} ) Discuta a sua posição relativa usando vetores. Calcule a interseção \Omega_{1} \cap \Omega_{2}.
(c) (1 pt) Calcule a distância e o ângulo entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois lugares geométricos no espaço por equações e pede três coisas. As informações e perguntas são:
  • Dados:
    • \Omega_{1}\) definida pelo sistema \[\begin{cases} 2x - y + z = 1,\\[4pt] x - 2y + 2z = 2. \end{cases}
    • \Omega_{2}\] definida pela equação \[x + y - z = 2.\] - Perguntas: 1. Identificar que tipo de lugar geométrico é cada um (ponto, reta ou plano) e dar suas equações paramétricas. 2. Discutir a posição relativa entre \(\Omega_{1} e \Omega_{2} usando vetores e calcular a interseção \Omega_{1}\cap\Omega_{2}.
      3. Calcular a distância e o ângulo entre \Omega_{1} e \Omega_{2}.]

Passo 2

Identificar e achar a equação paramétrica de [\Omega_{1}) (o sistema de duas equações lineares).
  • Interpretação: o sistema de duas equações lineares em três incógnitas normalmente representa a interseção de dois planos, que é generically uma reta (ou pode ser vazio ou um plano inteiro se as equações forem dependentes). Vamos resolver explicitamente para obter uma forma paramétrica.
  • Método prático: escolher uma variável livre; tomo z=t como parâmetro e resolvo para x e y.
Substituindo z=t nas duas equações:
\begin{cases} 2x - y = 1 - t,\\[4pt] x - 2y = 2 - 2t. \end{cases}
Resolvendo esse sistema para x\] e \(y:
  • Multiplico a segunda equação por 2: 2x -4y = 4 -4t.
  • Subtraio a primeira equação: (2x-4y)-(2x-y) = (4-4t)-(1-t), então -3y = 3 -3t.
  • Logo y = -1 + t.
  • Substituo y na primeira: 2x -(-1 + t) = 1 - t, então 2x +1 - t = 1 - t e assim 2x=0, ou seja x=0.
Portanto, em função de t:
x=0,\qquad y=t-1,\qquad z=t.
Escrevendo em forma vetorial (ponto + parâmetro vezes vetor diretor):
\Omega_{1}:\quad (x,y,z) = (0,-1,0) + t\,(0,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Comentário didático sobre direção da reta via produto vetorial de normais (confirmação).
  • Cada equação do sistema é um plano com norma l \mathbf{n}_1=(2,-1,1) e \mathbf{n}_2=(1,-2,2).
  • A direção da reta interseção é dada por \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
  • Calculo rápido: \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] 2 & -1 & 1 \\[2pt] 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = (0,-3,-3) = -3(0,1,1).
  • Isto confirma que um vetor diretor é (0,1,1), consistente com a parametricidade obtida. Boa prática: escolher o ponto (0,-1,0) como ponto da reta (obtido com t=0).]

Passo 4

Identificar e achar a equação paramétrica de \Omega_{2} (o plano).
  • A equação do plano é x + y - z = 2.
  • Normal do plano: \mathbf{n}=(1,1,-1).
  • Para escrever parametricamente, tomo y=s e z=u como parâmetros livres; então x = 2 - y + z = 2 - s + u.
  • Em forma vetorial: \Omega_{2}:\quad (x,y,z) = (2,0,0) + s(-1,1,0) + u(1,0,1),\qquad s,u\in\mathbb{R}.
  • Aqui (2,0,0) é um ponto do plano (pega-se s=u=0) e os vetores (-1,1,0) e (1,0,1) geram o plano.

Passo 5

Discutir a posição relativa usando vetores (paralelismo, inclusão ou interseção).
  • Reta \Omega_{1} tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,1).
  • Plano \Omega_{2} tem normal \mathbf{n}=(1,1,-1).
  • Calculo do produto escalar:
    \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = (0,1,1)\cdot(1,1,-1) = 0 + 1 - 1 = 0.
  • Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, o vetor diretor da reta é ortogonal ao normal do plano, isto é, \mathbf{v} é paralelo ao plano. Consequência: a reta é ou totalmente contida no plano ou é paralela ao plano sem interseção.
  • Para decidir qual caso, verifico se um ponto da reta pertence ao plano. Uso o ponto P=(0,-1,0) (correspondente a t=0).
    Substituindo em x+y-z:
    x+y-z = 0 + (-1) - 0 = -1 \neq 2.
  • Portanto P\notin\Omega_{2}. Como a direção da reta está no plano mas nenhum ponto da reta satisfaz a equação do plano, concluímos que a reta é paralela ao plano e não está contida nele.
  • Interseção \Omega_{1}\cap\Omega_{2}: para checar diretamente, substituo a parametrização da reta na equação do plano:
    x+y-z = 0 + (t-1) - t = -1 \quad\text{para todo }t,
    e -1\neq 2. Assim não existe t que satisfaça a equação do plano, logo
    \Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\varnothing.

Passo 6

Calcular a distância entre a reta \Omega_{1} e o plano \Omega_{2} (caso paralelos).
  • Observação: quando uma reta é paralela a um plano, a distância entre a reta e o plano é igual à distância de qualquer ponto da reta ao plano.
  • Fórmula usada (distância ponto-plano): para um plano dado por ax+by+cz+d=0 com normal \mathbf{n}=(a,b,c), e um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0), a distância é
    \mathrm{dist}(P_0,\text{plano}) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\|\mathbf{n}\|}.
    Aqui \|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
  • Escrevo o plano \Omega_{2} na forma x+y-z-2=0, logo a=1,b=1,c=-1,d=-2 e \|\mathbf{n}\|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Tomo o ponto P=(0,-1,0) da reta. Substituindo:
    a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot 0 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 0 -2 = -1 -2 = -3.
  • Portanto a distância é
    \mathrm{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2}) = \frac{|{-3}|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Passo 7

Calcular o ângulo entre a reta \Omega_{1} e o plano \Omega_{2}.
  • Definição prática: seja \theta o ângulo entre a reta (direção \mathbf{v}) e o plano (normal \mathbf{n}). Se \alpha é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}, então \theta = 90^\circ - \alpha. Uma fórmula direta é
    \sin\theta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
    (Isto vem de \cos\alpha = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|} e \theta = 90^\circ-\alpha, portanto \sin\theta=\cos\alpha.)
  • No nosso caso \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0, logo \sin\theta=0 e portanto \theta=0.
  • Interpretação geométrica: ângulo zero significa que a reta é paralela ao plano (têm a mesma direção localmente), o que já vimos algebraicamente.

Resposta

(a) \Omega_{1} é uma reta; \Omega_{1}:\\ (x,y,z)=(0,-1,0)+t(0,1,1),\\ t\in\mathbb{R}.
\Omega_{2} é um plano; \Omega_{2}:\\ (x,y,z)=(2,0,0)+s(-1,1,0)+u(1,0,1),\\ s,u\in\mathbb{R}.
(b) A reta é paralela ao plano e não está contida nele; \Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\varnothing.
(c) \mathrm{dist}(\Omega_{1},\Omega_{2})=\sqrt{3}.
Ângulo entre \Omega_{1} e \Omega_{2}: 0 (a reta é paralela ao plano).

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