Seja a reta r: \frac{-5-x}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{z+1}{4}. Temos que o vetor diretor \vec{r} e o ponto P utilizados para obter essa equação foram:
Escolha uma opção:
◯ a. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,-7,-1)
◯ b. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
◯ c. \vec{r}=(2,-3,4) e o ponto P=(5,7,-1)
◯ d. \vec{r}=(2,3,-4) e o ponto P=(5,7,-1)
◯ e. \vec{r}=(-2,3,4) e o ponto P=(-5,7,-1)
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
\frac{-5-x}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{z+1}{4},
e pede para identificar o vetor diretor \vec{r} e o ponto P que foram usados para escrever essa equação. Foram fornecidas cinco alternativas (a) a (e) entre as quais devemos escolher.

Passo 2

Uma maneira padrão de interpretar uma equação simétrica de reta em \mathbb{R}^3 é igualar todas as frações a um parâmetro, que vou chamar de t. Ou seja, escrevo
t=\frac{-5-x}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{z+1}{4}.
Isso transforma a equação simétrica em um sistema paramétrico para x,y,z em função de t.

Passo 3

A partir de t=\dfrac{-5-x}{2} faço álgebra simples para isolar x. Multiplicando por 2:
2t=-5-x.
Agora isolo x:
x=-5-2t.
Aqui cada passo é só aplicação das regras básicas de operações (multiplicar ambos os lados por 2 e transpor o x).

Passo 4

Da segunda igualdade t=\dfrac{y-7}{3} multiplico por 3 e isolo y:
3t=y-7 \quad\Rightarrow\quad y=7+3t.
Novamente usei apenas multiplicação e soma/subtração para isolar a variável.

Passo 5

Da terceira igualdade t=\dfrac{z+1}{4} multiplico por 4 e isolo z:
4t=z+1 \quad\Rightarrow\quad z=-1+4t.

Passo 6

Agora escrevo as três equações paramétricas juntas:
x=-5-2t,\qquad y=7+3t,\qquad z=-1+4t.
Em forma vetorial isso fica
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]7\\[4pt]-1\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Da forma vetorial padrão \vec{r}(t)=\vec{r_0}+t\vec{v} vê‑se imediatamente que o ponto base (quando t=0) é P=(-5,7,-1) e o vetor diretor é \vec{v}=(-2,3,4).]

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a \vec{v}=(-2,3,4) e P=(-5,7,-1) é a alternativa (e). Força aí — interpretar simétrica como parâmetro e ler t=0 é um macete que salva tempo na prova.

Resposta

e. \vec{r}=(-2,3,4) e P=(-5,7,-1)

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